고등학교 수열단원 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준 분석 연구

Abstract

대수적 사고는 학생들이 문제를 해결하기 위해 논리적으로 생각하며 식의 구조를 파악하고 그 관계를 기술하는 식을 만들 수 있는 능력 등을 포함한다. 학교 수학에서 강조하고 있는 '수학적 사고 능력의 신장'은 이러한 대수적 사고를 바탕으로 한다. 그리고 대수적 사고의 하나인 일반화는 특정한 숫자를 다루는 산술적 사고에서 기호 사용을 통한 추상적 사고로의 전이를 가능하게 해주는 중요한 사고요소이다. 따라서 학생들의 대수적 사고 양식 및 일반화 사고 실태를 알아보고 이에 관한 적절한 방안을 강구하는 것은 보다 성공적인 교수·학습을 위해 필요하다. 그런데 학문으로서의 깊이 있는 수학을 배우는 고등학교 학생들의 대수적 사고에 대한 연구가 부족하다. 따라서 고등학교 학생들의 대수적 사고 양식을 살펴보는 연구가 필요하다고 생각된다. 이에 본 연구의 목적은 고등학교 대수 영역인 수열단원 문제해결과정에서 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준에 대한 분석을 하고자 한다. 이 결과를 통하여 학생들의 대수적 사고에 대한 교사들의 이해를 돕고, 학생들의 일반화 능력을 향상시키기 위한 효과적인 교수·학습 방법을 찾는 데에 도움이 될 수 있는 의미 있는 정보를 제공하고자 한다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 고등학교 수열단원의 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 대수적 사고 양식은 어떠한가? 1-1. 고등학교 수열단원의 등차수열 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 대수적 사고 양식은 어떠한가? 1-2. 고등학교 수열단원의 등비수열 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 대수적 사고 양식은 어떠한가? 2. 고등학교 수열단원의 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 일반화 수준은 어떠한가? 2-1. 고등학교 수열단원의 등차수열 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 일반화 수준은 어떠한가? 2-2. 고등학교 수열단원의 등비수열 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 일반화 수준은 어떠한가? 이 연구문제에 대한 결과를 얻기 위하여 경기도 S고등학교 1학년 4개 학급의 학생 106명을 대상으로 지필 검사 형태의 검사를 실시하였다. 검사도구는 여러 문헌을 참고하여 제작한 등차수열과 등비수열 내용의 검사지로서, 등차수열 검사지는 4문항 총 14개의 소문항으로 구성하였고, 등비수열 검사지는 3문항 총 15개의 소문항으로 이루어졌다. 검사는 고등학교 수학II 교과의 수열단원을 학습하는 기간 중에 각각 등차수열과 등비수열에 관한 수업을 받은 후총 2회에 걸쳐 검사를 실시하였다. 이후, 학생들의 검사지에 서술한 내용을 바탕으로 대수적 사고 양식과 일반화 수준을 분석하였다. 검사지의 분석을 위한 분석틀은 다음과 같다. 대수적 사고 양식 분석틀은 세 가지 대수적 사고 양식(B, A, DU)의 16가지 요소인 정보 조직화(B1), 정보 그룹화(B2), 규칙 설명(B3), 패턴 예측(B4), 변화 묘사(B5), 다른 표현방법(B6), 규칙 정당화(B7), 간단한 계산방법 찾기(A1), 간단한 계산방법 정당화하기(A2), 계산하지 않고 답을 찾기(A3), 일반화하기(A4), 동등한 표현 사용하기(A5), 상징적 표현 사용하기(A6, A7), 역연산 활용(D1), 투입 값 찾기(D2), 거꾸로 풀기(D3)이다. 그리고 일반화 수준 분석틀은 산술·사실적 일반화(G1), 맥락적 일반화(G2), 기호적 일반화(G3), 맥락·기호적 일반화(G4)의 네 가지이다. 연구문제 1의 대수적 사고 양식을 분석한 결과는 다음과 같다. 먼저, '함수적 사고'에서는 많은 학생들이 규칙 설명(B3), 패턴 예측(B4), 변화 묘사(B5), 정보 조직화(B7) 사고 요소를 가지고 있었다. 반면 정보 그룹화(B2)와 다른 표현방법(B6)은 많이 나타나지 않았다. 다음으로, '추상적 사고'에서는 많은 학생들이 일반화하기(A4), 동등한 표현 사용(A5), 상징적 표현 사용(A6, A7) 사고 요소를 가지고 있었다. 반면 계산하지 않고 답 찾기(A3) 사고는 적게 나타났다. 그리고 간단한 계산방법(A1)은 거의 나타나지 않았으며, 간단한 계산방법 정당화(A2)는 한 번도 나타나지 않았다. 그리고 '순환적 사고'에서 학생들이 사고한 요소는 투입값 찾기(D2), 역연산 활용(D1), 거꾸로 풀기(D3)의 순서로 많이 나타났다. 연구문제 2의 일반화 수준을 분석한 결과, 학생들은 모든 문항에서 일반화를 할 때 기호적 일반화 방법(G3)을 가장 많이 사용하였고, 그 다음으로는 산술·사실적 일반화(G1), 맥락· 기호적 일반화(G4) 순으로 많이 나타났으며, 맥락적 일반화(G2)는 전체 문항 중 한 문항에서 한명만 나타났다. 그리고 수열의 규칙이 비선형적이고 복잡한 문항일수록 학생들의 일반화 수준이 낮아졌고 정답을 맞힌 학생의 비율도 낮았다. 또한 등차수열 및 등비수열 검사지에서 모두 기호적 일반화 수준(G3)인 학생들이 가장 많았지만, 등비수열 문제에서의 오답률이 훨씬 많았으며 등차수열보다 등비수열 검사지에 아무것도 서술하지 않고, 풀이를 전혀 시도하지 않은 학생들이 많이 있었다. 이를 바탕으로 하여 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 학생들은 수열 문제를 해결할 때 이전 항과 이후 항의 관계와 변화를 표현하여 패턴을 예측하는 것엔 익숙한 반면, 이것을 자신만의 설명방법으로 정당화하거나 대수식의 절차로 표현하는 것에는 익숙하지 않았다. 또한 대수 문제 해결을 위해 좀 더 확장된 사고를 하여 문제 상황과 관련하여 다른 정보를 궁금해 한다거나, 다른 방법으로 생각해서 문제해결에 접근해보려는 시도가 부족했다. 따라서 학생들이 수학에서 대수적인 구조를 파악하여 식으로 표현하고 자신의 주장을 논리적으로 설명할 수 있는 사고와 문제 상황의 다른 측면을 고려하여 해결해보려는 시도와 경험이 필요할 것이다. 둘째, 학생들이 여러 사례에서 살펴볼 수 있었던 규칙이나 변화를 바탕으로 일반화 하는 사고를 많이 하고 있었던 반면, 학생들이 연산구조를 파악하고 계산을 하는 과정에서 간단한 계산 방법을 찾는 사고는 거의 발견되지 않았다. 또한 간단한 계산 방법을 정당화하는 사고는 하나도 발견되지 않았다. 따라서 학생들이 연산의 구조를 파악하고 생각할 수 있는 연습과 기회가 자주 제공될 필요가 있다. 또한 문제해결 과정에서 학생들에게 다른 측면의 방법으로 사고를 확장하고 생각해볼 수 있도록 하기 위해서 거꾸로 풀기 사고 요소를 인식하여 지도할 필요가 있다. 셋째, 학생들의 일반화 수준을 분석할 결과, 학생들은 모든 문항에서 일반화를 할 때 기호적 일반화(G3)가 가장 많았지만, 일반화된 표현은 하지 못하는산술·사실적 일반화(G1) 수준도 많이 나타났다. 따라서 학생들이 일반화를 상황적으로 설명하여 표현을 하거나 식으로 나타내는 데 도움을 줄 수 있는 교수·학습 방법이 제공되어야 한다. 넷째, 수열의 규칙이 비선형적이고 복잡한 문항일수록 학생들의 일반화 수준이 낮아졌고, 정답을 맞힌 학생의 비율도 낮았다. 따라서 학생들에게 등차수열과 등비수열 이외의 다른 특징을 가지고 있는 여러 가지 수열에 대한 내용을 가르칠 필요가 있다고 생각한다. 다섯째, 등차수열 및 등비수열 검사지에서 모두 기호적 일반화 수준(G3)인 학생들이 가장 많았지만, 등비수열 문제에서의 오답률이 훨씬 더 많았다. 또한 등차수열보다 등비수열 검사지에 아무것도 서술하지 않고, 풀이를 전혀 시도하지 않은 학생들이 많이 있었다. 따라서 학생들이 수열단원 학습에서 어떤 측면을 어려워하는지, 등차수열보다 등비수열을 어려워하는 이유가 무엇이고 어떻게 체감을 하고 있는지에 대한 연구가 필요하다고 생각한다. 본 연구의 결과를 토대로 교수·학습에 관련된 몇 가지 점들을 제언하고자 한다. 첫째, 대수적 사고는 대수 학습을 깊이 있게 다루게 되는 고등학교 대수 영역에서 중요하게 다루어질 수 있다. 따라서 본 연구에서 다루지 못한 수열 단원의 내용인 수열의 합이나 수학적 귀납법이나 미적분과 같은 다른 영역에서도 학생들의 대수적 사고에 관한 위계적인 연구가 필요하다고 사료된다. 둘째, 본 연구에서 분석한 수열단원 문제해결에서 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준을 바탕으로 학교 현장에서 수학을 가르치고 있는 교사들이 학생들의 대수적 사고 능력을 향상시키는 실질적이고 구체적인 교수학적 방법에 대해 진지하게 고찰해 볼 것을 제안한다. 셋째, 본 연구에서 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준을 분석한 결과 많은 학생들은 수열의 규칙이 비선형적인 문제를 해결하지 못하였다. 따라서 수학 교과서 또는 교육과정 개발자들이 좀 더 다양하고 실생활에 부합되는 비선형적인 패턴의 문제를 만들어서 학생들에게 소개해 줄 필요가 있다. 넷째, 본 연구에서 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준을 분석한 결과 등차수열보다 등비수열 검사지에 아무것도 서술하지 않거나 풀이를 전혀 시도하지 않은 학생들이 많이 있었다. 따라서 학생들이 등차수열보다 등비수열 문제를 어렵다고 생각하는 구체적인 원인에 대한 연구가 선행되어야 할 것이고, 이를 바탕으로 한 등비수열 문제해결 향상과 일반화 표현을 위한 지도 방안에 관한 연구가 이루어져야 할 것이다. 넷째, 본 연구에서 학생들의 일반화 수준을 분석한 결과 기호적 일반화 수준을 보인 학생일지라도 일반화 식을 올바르게 구하지 못한 학생들이 많았다. 따라서 학생들이 일반화를 표현하고 그것을 식으로 나타내는 과정, 일반화 식을 구할 때 어려워하는 부분이 무엇인지에 대해 본 연구에서 분석하지 못한 학생들의 실제적인 사고 과정을 살펴보는 질적인 사례 연구가 이루어질 필요가 있다고 생각된다.;Algebraic thinking involves the ability of students to think logically to solve problems, to understand the structure of expressions, and to formulate expressions of relationships. Therefore, the emphasis on mathematical thinking in school mathematics is based on algebraic thinking. Generalization is one of algebraic thinking, which is an important factor that enables transition from an arithmetic thinking that deals with a specific number to an abstract thinking through the use of variables. Therefore, it is necessary to identify students' algebraic thinking habits of mind and generalization thinking so that we take appropriate measures to achieve them. However, there is a lack of research on algebraic thinking of high school students learning mathematics as a discipline. Therefore, it is necessary to study the algebraic thinking style of high school students. The purpose of this study was to analyze the students' algebraic thinking habits of mind and the level of generalization in solving high school sequence unit problem, to help the teachers understand the algebraic thinking of the students. This can provide meaningful information for teaching and learning methods. The following research questions were set up for this purpose. 1. How is students' algebraic thinking habits of mind in problem solving process of high school sequence unit? 1-1. How is students' algebraic thinking habits of mind in problem solving process of high school sequence unit, especially in arithmetics sequence topic? 1-2. How is students' algebraic thinking habits of mind in problem solving process of high school sequence unit, especially in geometric sequence topic? 2. How is students' generalization level in problem solving process of high school sequence unit? 2-1. How is students' generalization level in problem solving process of high school sequence unit, especially in arithmetics sequence topic? 2-2. How is students' generalization level in problem solving process of high school sequence unit, especially in geometric sequence topic? In order to obtain the results of this study, 106 grade ten students of four classes in Gyeonggi-do High School were surveyed in the form of paper-pencil test. The test instrument consisted of 14 items sub-question from 4 question for arithmetics sequence. The geometric sequence consisted of 15 sub-questions from 3 questions in total. The test was conducted twice during the period of high school Mathematics II course. The result was used to analyze the algebraic thinking types and the level of generalization based on the students' answer. The analytical framework for analyzing the test result is as follows. Algebraic thinking habits of mind analysis framework is composed of sixteen domains of three algebraic thinking habits of mind (B, A, and DU), Organizing information(B1), Chunking the information(B2), Describing a rule(B3), Predicting patterns(B4), Describing change(B5), Different representations(B6), Justifying a rule(B7), computational shortcuts (A1), justifying shortcuts (A2), calculating without computing (A3), generalizing beyond examples (A4), using the equivalent expression (A5), using the symbolic expression (A6, A7), using the inverse operation relation (D1), finding the input from output(D2), working backward (D3). In addition, the generalization level analysis framework has four categories: arithmetic and factual generalization (G1), contextual generalization (G2), symbolic generalization (G3), and contextual and symbolic generalization (G4). The results of analysis of algebraic thinking habits of mind of research question 1 are as follows. First, in 'Building rules to represent function(B)', many students rule description (B3), pattern predictions (B4), change descriptions (B5), and justifying rule(B7). On the other hand, chunking information (B2) and different representations methods (B6) did not appear much. Next, in 'Abstracting from computation(A)', many students had the generalizing beyond examples (A4), using equivalent expressions (A5), using symbolic expressions (A6, A7). On the other hand, calculation without computing (A3) showed appeared less. The calculational shortcuts (A1) was hardly shown, and justifying shortcuts (A2) was never shown. In the 'Doing/Undoing(DU)', the factors that students thought were found in input from output (D2), reverse calculation (D1), and working backward (D3). As a result of analyzing the generalization level of research question 2, students used the symbolic generalization method (G3) most frequently when generalizing in all items, followed by arithmetic and factual generalization (G1), contextual and symbolic generalization (G4). In contextual generalization (G2), only one person appeared in one of the items. The nonlinear and complicated items of the rules of the sequence have lowered the level of generalization of the students and the percentage of students who answered the answers was also low. In addition, the students with symbolic generalization (G3) were the most frequent in the arithmetic and geometric sequence tests. However, the error rate was much higher in the geometric sequence problems. There were many students who did not even finished solving the questions. Based on this, the following conclusions can be drawn. First, while students were familiar with predicting patterns by expressing relationships and changes when solving sequence problems, they were unfamiliar with expressing them as their own explanations or in terms of algebraic structure. Also, there was a lack of attempts to solve problems by thinking about other information related to the problem situation, or thinking about it in other ways. Therefore, it is necessary that students try and solve problems by thinking in algebraic structure in mathematics, expressing them in the form of mathematics, considering other aspects of thinking and problem situations which can logically explain their arguments. Second, while students have showed generalizations thinking based on rules or changes that they could observe in many cases, little was found about thinking of finding calculation shortcuts, and there was no evidence of justifying the calculation shortcut. Therefore, there needs to be frequent practice and opportunities for students to understand and think about the structure of operations. It is also necessary to recognize and guide students to think backwards in order to allow students to expand and think through the other side of the problem-solving process. Third, as a result of analyzing the students' generalization level, students showed the most common symbolic generalization (G3) when generalizing in all items, but arithmetic and factual generalization level (G1) was also appeared a lot. Therefore, a teaching and learning method should be provided to help students explain the situation in general and express it in the form of expression. Fourth, the nonlinear and complicated items of the sequence problems lowered the level of generalization and also lowered the percentage of students who answered correctly. Therefore, I think it is necessary for students to learn about other sequences that have special characteristics besides the arithmetics and geometric sequence. Fifth, the students with the symbolic generalization level were the most common students in the arithmetic and geometric sequence test, but the incorrect answer rate in the geometric sequence problem was much higher. In addition, there were many students who did not attempt to solve at all in the geometric sequence test. Therefore, I think that it is necessary to study further about what difficulties that students encounter while learning in the sequence unit, and the reason why geometric sequence is more difficult than the arithmetic sequence.