귀류법에 대한 고등학교 1학년 학생들의 이해

Abstract

현행 2009 개정 교육과정의 고등학교 9종 교과서에서 귀류법에 대한 실생활 관련 문항이 대체적으로 거의 없는 것을 알 수 있었다. 그래서 고등학교 1학년 학생들의 귀류법의 정의 개념 및 증명 과정에 대한 그 이해 변화를 살펴보는 것이 연구의 목적이다. 이를 위한 사전검사 - 2차시의 조별 활동 - 사후 조사를 하였다. 조별 활동 수업에서 실생활 관련 귀류법 활동을 통해 학생들의 귀류법 이해 변화를 파악하고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 연구문제 1. 학생들이 다음과 같은 귀류법의 대하여 변화가 있는가? 가. 학생들이 귀류법의 개념 정의에 대한 변화가 있는가? 나. 실생활 관련 귀류법 문항에서 그 이해의 변화가 있는가? 다. 수학적 증명으로서의 귀류법 문항에서 그 이해의 변화가 있는가? 연구문제 2. 조별 활동 수업에서 학생들의 귀류법 증명에서의 그 이해는 어떠한가? 가. 실생활 관련 귀류법 증명 활동에서 귀류법 이해는 어떠한가? 나. 귀류법에 대한 학생들이 갖는 생각(어려움, 알게 된 것, 알고자 하는 것)은 무엇이 있는가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위하여, 본 연구에서 서울시 강북구에 소재한 고등학교 1학년 학생들이 귀류법의 이해 변화를 알아보기 위하여 2009 개정 교육과정 ‘수학Ⅱ’교과서를 분석하고 교과서의 문항을 참고하여 사전·사후 검사지와 활동지 문항을 제작하여 학생들의 귀류법에 대한 이해 정도에 대하여 조사하였고 그것을 바탕으로 질적 연구를 하였다. 예비교사 2인과 현장교사 3인과 함께 연구자가 제작한 검사지 문항에 대해 재검토를 하여 문항에 대한 내용의 신뢰도 및 타당도에 대한 적절성을 검증하였다. 예비검사(pilot 검사)는 대상 학교 학생이 아닌 타 지역의 학교의 여학생 1명을 대상으로 하였다. 그 학생과 면담을 통해 문항의 적절성 및 수준을 고려하여 본 연구에 사용할 검사지와 활동지 문항을 수정·보완하였다. 여기서 사전·사후 검사에 쓰인 검사지는 귀류법 정의와 증명에 관하여 고1학생들이 어느 정도로 이해하고 있는지 파악하는 것을 목적으로 제작되었다. 그리고 2차시에 걸쳐 조별 활동 수업을 실시하였다. 1차시 조별 활동 수업은 실생활과 관련된 귀류법 문항을 조원들과 함께 원활한 의사소통 속에서 학생들의 귀류법 사용을 해 봄으로써 귀류법의 이해를 돕고자 하였다. 2차시 조별 활동 수업에서 연구자가 두 가지 게임을 활용하여 진행하였다. 첫 번째 게임은 ‘마피아를 찾아라’게임으로 귀류법을 이용할 수 있도록 연구자가 기존 게임을 변형하여 게임에서 귀류법적 표현을 할 수 있게 하였다. 또한‘텔레파시 게임’에서도 게임을 진행하고 난 다음 게임 룰의 원리를 귀류법으로 설명할 수 있도록 학생들과 원활한 의사소통을 할 수 있게 하였다. 그리고 게임 종료 후에 학생들이 게임에서 사용했던 귀류법 표현을 작성하게 하여 귀류법 사용과 그 의미를 알게 하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 학생들이 귀류법에 대한 정의를 사전·사후조사에서 서술할 때, 다음가 같이 ⌜ ①‘명제의 결론을 부정하여’와 ②‘가정하거나 어떠한 사실에 모순을 보여서’, ③‘원래의 명제가 참임을 밝히는 증명’⌟을 포함하는 정의를 3가지로 나누어서 학생들의 이해 정도를 파악하였다. 첫째, 학생들이 3가지 모두 서술하여야 만족하는 귀류법 정의로, 21명 중 사전조사에서는 7명, 사후 조사에서는 9명으로 정의를 전반적으로 모두 제시하는 것을 알 수 있었다. 정확하게 제시하는 학생의 수가 크게 늘어난 것은 아니지만 ‘모순’의 용어 사용이 13명에서 17명으로 늘어난 것과 ‘부정’의 용어 사용이 7명에서 9명으로 늘어난 것을 토대로 귀류법 정의 사용의 변화가 나타나고 있음을 알 수 있었다. 이는 귀류법 정의를 이용한 학생들의 활동 수업을 통해 귀류법 사고를 할 수 있는 인식의 변화가 있음을 파악할 수 있었다. 학생들이 귀류법에서 ‘모순’을 찾아야하는 단서 찾기의 필요성과 그 중요성을 좀 더 인식하는 것으로 여길 수 있다. 문항을 통해 실제 명제의 부정이 명제의 결론에 부정을 하는지 명제의 가정과 결론에 해당하는 모든 부분을 부정하는지 확인해 볼 필요가 있었고 이러한 확인은 사전 사후의 귀류법으로 증명하는 문항에서 파악할 수 있었다. 또한 이를 통해 학생의 정의 표현이 오직 교과서에 의해 이루어진 정의라 할 순 없지만 영향을 받았다는 것을 짐작 할 수 있기에 학생들의 오류가 최소화 될 수 있도록 교과서의 정확한 정의 제시가 기본적으로 선행되어야 한다. 둘째, 귀류법은 대표적인 간접 증명이다. 그러나 학생들은 간접증명이라고 느끼는 학생보다 그저 증명법 중에 하나라고만 생각하여 ‘부정’을 하는 것보다 ‘가정’하는 것에 초점을 두고 정의를 제시하는 경향이 사전 조사에서 나타났다. 고등학교 교육 과정에서 학습하는 간접 증명은 주로 ‘주어진 명제의 결론을 부정하는 것’을 가정하여 증명을 시작하게 된다. 사후 조사에서 나타난 결과로, 귀류법의 첫 시작인 ‘주어진 명제의 결론을 부정하여~’을 이차명제(secondary statement)의 가정으로 제시하는 학생들이 5명에서 8명으로 늘어나면서 학생들의 ‘명제의 부정’에 대한 인식의 향상에 도움이 되었음을 알 수 있었다. 또한 일상적 상황(사전 문항[A1], [A3]과 사후 문항[B1])에서 수학적 상황(사전문항[A4]과 사후 문항(B3])으로 각각의 귀류법 문항을 분석한 결과, 일상적 상황에서 제시된 명제는 문장으로 제시되어 명제의 결론이 서술어로 인식하여 그 부분만 부정하여 명제를 나타내는 것을 알 수 있었다. 이것은 학생들이 명제의 결론을 부정하여 나타내는 것으로 볼 수 있었지만 수학적 상황으로 제시된 귀류법 증명 문항을 분석 한 결과 그 차이가 있음을 알 수 있었다. 수학적 상황의 증명 문항에서 ‘명제의 결론을 부정’하여 새로운 이차명제의 가정 (‘∼’의 논리 구조)으로 설정하여야 하지만 명제의 결론만 부정하여 ‘∼’인 이차 명제의 가정으로 제시하는 학생들이 6명에서 8명으로 그 수가 상대적으로 늘어남을 알 수 있었다. 이는 일상적 상황과 수학적 상황에서 명제의 ‘부정’의 차이를 제대로 잘 인식하지 못하였음을 알 수 있었다. 또한 수학적 상황의 귀류법 증명에서 이차명제의 가정을 설정하는 데 그 어려움이 있음을 알 수 있었다. 이것을 바탕으로 일상적 상황과 수학적 상황의 귀류법 증명 문항을 적절히 사용하되 그 차이를 인식할 수 있고 오류를 극복 할 수 있도록 교사의 지도가 적절히 필요하다고 보았다. 셋째, ‘명제의 결론을 부정하여~’나타내는 이차명제의 가정에서 '∼'을 명제 전체를 부정하는 즉, '∼∼'으로 나타내는 학생이 사전 검사에서 3명, 사후 검사에서 2명으로 나타났다. 이것은 조별 활동을 통해서 학생들이 이러한 오류 극복을 통해 그 이해 변화가 거의 없고 계속 그 오류가 나타나는 것을 알 수 있었다. 이것은 귀류법 이전의 ‘명제의 부정’내용에서 학습의 부재로 볼 수 있었다. 귀류법 정의에서 면밀하게 연계되어 사용되는 만큼 ‘부정’에 대한 정확한 학습이 필요함을 알 수 있었다. 넷째, 조별 활동에서 학생들의 증명을 분석한 결과, 학생들이 ‘모순’이 되어야 하는 그 단서를 찾는 활동에서 어려움을 호소하는 것을 조별 활동지 문항[J6]을 통해 알 수 있었다. 사후에서 ‘모순’사용의 빈도가 늘어났지만 모순이 되는 근거를 찾는 어려움은 계속 나타날 수 있기에 활동 수업을 통해 극복할 수 있도록 해야 할 것이다. 다섯째, 교육과정 상 고등학교 ‘수학Ⅱ’교과서의 명제 단원 안에 처음으로 귀류법을 제시하였으나 교과서 9종 중 두산동아 교과서를 제외한 8종 교과서에서 실생활형 문항의 부재가 있음을 알 수 있었다. 그래서 실생활 관련 귀류법 증명을 조별 활동을 통해 교육과정의 취지에 맞게 학습의 부담은 경감시키고 학생들의 귀류법 이해를 돕고자 하였다. 그 의도대로 학생들은 일상적 상황과 수학적 상황에서 ‘당연하다’로 간주되었던 것들을 조별 활동에서 조원들과 의사소통을 통해 귀류법으로 증명해 보면서 귀류법에 대한 부담감을 덜게 하였고 흥미를 이끌었음을 확인하였다. 본 연구는 실생활 관련 귀류법 문항과 수학적 증명으로서의 귀류법 문항의 증명, 그리고 귀류법이 적용된 게임을 하는 조별 활동으로 학생들에게 학습의 부담은 줄이면서 귀류법 정의를 적절히 이용할 수 있도록 하여 귀류법을 어떻게 이해하고 있는지 확인하였다. 이를 바탕으로 귀류법에 대한 학생들이 느끼는 막연한 어려움과 실제 학생들이 증명 과정에서 나타나는 오류를 극복할 수 있도록 교과서 재구성 및 교사의 다양한 교수·학습 개발이 꾸준히 이루어져야 할 것이다.;The purpose of this study is to examine the definition and proof process of proof by contradiction for the first grade high school students according to the 2009-revised educational curriculum. This study conducted a pre-test, 2-session group activity, post-test to explore how the students understood the definition and concept of proof by contradiction and its proof process related to real life. The research questions were as follows : Research questions 1. Does a change of the understanding have the students about proof by contradiction's concept definition? Research questions 2. Does the change of the understanding have the students about proof by contradiction's questions of related to real life? Research questions 3. Does the change of understanding have the students about proof by contradiction's questions as mathematics proof? In order to solve these research questions, the research targets were designated as the first grade high school students in Gangbuk-gu, Seoul. The study analyzed the textbook 'Mathematics Ⅱ'. The pre-test and post-test questionnaires and the activity questionnaires were produced to investigate the degree of understanding of the students' proof by contradiction and to perform the qualitative research based on it. The questionnaires were reviewed with the two preliminary teachers and three incumbent teachers to verify the reliability and validity of the items. The preliminary test (pilot test) was conducted for one female school student in another school, not the target school. The author of the study interviewed the student and revised and supplemented the questionnaires and activity items to be used in this study, taking into account the appropriateness and level of questions. In this context, the questionnaires used in the pre-test and post-test were designed to examine how well high school students understood the definition and verification of proof by contradiction. In addition, group activities were conducted for two sessions. The first session group activities classes were intended to help the students understand proof by contradiction related to the real lives in the communication with other group members. In the second session group activities, the author of the study used two games. The first game was ‘finding a mafia’. The existing game was modified by the author to use proof by contradiction. Moreover, after conducting 'Telepathic game', it helped the students to communicate with other students while explaining the principle of the game rule with proof by contradiction. Then, after the game was finished, students were asked to write the expression of proof by contradiction used in the game, so that they could know how to use proof by contradiction and its implication. The conclusions of this study are as follows. When students described the definition of proof by contradiction in the pre-test and post-test, the following three definitions were classified: ① denying the conclusion of the proposition, ② presupposing the assumption or contradiction to any fact, and ③ defining the proposition that the original proposition is true. First, in terms of the definition of proof by contradiction, of the 21 students, 7 presented the three items in the pre-test and 9 presented the three items in the post-test. Although the number of students presenting the accurate definitions did not increase significantly, the use of the term 'contradictions' increased from 13 to 17 and the use of the term 'denying' increased from 7 to 9. Therefore, it was found that a change in the understanding of proof by contradiction and the awareness on the ground for ‘contradiction’ Second, proof by contradiction is a representative indirect proof. However, in the preliminary study, the students tended to give a definition focusing on 'assuming' rather than 'denying', thinking that it was just one of the proofs than indirect proof. The indirect proofs presented in the high school curriculum usually begin with the assumption of "denying the conclusion of a given proposition". As a result of the post-test, the number of students presenting ‘denying the conclusion of the given proposition’, the beginning of proof by contradiction, as the assumption of the secondary statement increased from 5 to 8, which identify that it was helpful to improve the perception on ‘denying a proposition'. It was also identified that the students could not recognize the difference of proposition’s ‘denying’ in everyday situations and mathematical situations. Also, it was found that there were difficulties in setting the assumptions of quadratic propositions in proof by contradiction in the mathematical situation. Thus, teacher’s guidance is necessary to lead students to appropriately use the proof by contradiction items of everyday situations and mathematical situations and recognize its differences and errors. Third, in the assumption of the second proposition, ‘denying the conclusion of the proposition’, it was found that 3 students represented ~ as the denying the entire proposition, that is, denying the whole proposition in the pre-test and 2 students did so in the post-test. Through group activities, the students had little change in their understanding and still had the errors even through overcoming these errors. This implied the lack of learning in the content of the 'denying the proposition' prior to proof by contradiction. Since it is closely related to the definition proof by contradiction, learning accurately about 'denying' is required. Fourth, as a result of analyzing the students' proofs in the group activities, the group activity item [J6] demonstrated that the students had difficulties in finding the clues that should be 'contradictions'. Although the frequency of use of 'contradictions' in the post-test increased, the difficulties in finding the grounds for contradictions might continue to appear so that teachers should guide them to overcome such problems through activity classes. Fifth, although proof by contradiction was suggested for the first time in the proposition section of the high school 'mathematics Ⅱ' textbook in the educational curriculum, 8 kinds of textbooks other than the Doosan Dong-a textbook among 9 textbooks had no real-life type questions. Therefore, the proof by contradiction related to real life was attempted to reduce the burden of learning in accordance with the purpose of the curriculum through group activities and to help the students understand proof by contradiction. In doing so, the students were less likely to feel burdens and felt more interest in proof by contradiction by demonstrating propositions that were considered 'natural' in everyday situations and mathematical situations and communicating with other members in group activities. The findings of this study suggest that it is necessary to constantly reconstruct the textbooks and various teaching and learning developments in order to lead students to overcome the vague difficulties about proof by contradiction and the errors that students actually face in the proof process.