Aluthge, Duggal, and mean operator transforms and local spectral theory of some operator equations

Abstract

In this thesis, we study the Aluthge, Duggal, and mean operator transforms and the local spectral theory of some operator equations. First, we study some properties of the backward Aluthge iterates, the backward Duggal iterates, and the backward mean iterates of hyponormal operators. We also find the polar decomposition of the iterated Duggal transforms and the iterated mean transforms. In particular, we prove that operators in the backward Aluthge iterates or the backward Duggal iterates of a hyponormal operator of order $k$ admit moment sequences and have nontrivial hyperinvariant subspaces under some conditions. In the second part of this thesis, we prove some equations of operators about power similarity of operators, nearly equivalent operators, and relatively regular operators. In particular, we show that if an operator is power similar to a hyponormal operator or a subscalar operator, then it is a subscalar operator. From these results, we obtain that such operators with thick spectrum have nontrivial invariant subspaces. Furthermore, we study invariant subspaces for those operators. Also, we study several properties of nearly equivalent operators, investigate their local spectral properties, invariant subspaces, and the translation invariant property for such operators. Finally, we study the local spectral property of a relatively regular operator with the single-valued extension property. Furthermore, we introduce and study the local spectral property of relatively regular operators modulo a nilpotent operator.;이 학위 논문에서는 알루스게, 듀갈, 평균 작용소 변환들과 작용소 방정식들의 국소 스펙트랄 이론에 대해 연구한다. 첫 번째로 후진 알루스게 반복변환, 후진 듀갈 반복변환, 그리고 후진 평균 반복변환이 초정규작용소가 되는 경우를 공부한다. 또한, 작용소의 듀갈 반복변환과 평균 반복변환에 대한 극 분해를 찾았다. 특히, 안정적인 조건하에서 초정규작용소인 후진 알루스게 반복변환 또는 후진 듀갈 반복 변환은 모멘트 수열들과 비자명 초불변부분공간을 갖는다. 두 번째로 멱 닮음 작용소, 근접 동치 작용소, 그리고 상대 정규 작용소에 대한 작용소 방정식을 연구한다. 특히, 초정규작용소 또는 부분스칼라 작용소와 멱 닮음인 작용소는 부분스칼라이며, 그것의 불변 부분공간을 조사한다. 이러한 결과에서, 두꺼운 스펙트럼을 갖는 작용소는 불변 부분 공간을 갖는다. 또한, 근접 동치 작용소에 대한 몇가지 성질들을 연구하고, 그들의 스펙트랄 성질과 불변 부분공간, 그리고 이러한 작용소에 대한 이동 불변 성질에 대해 조사한다. 마지막으로, 단가 확장 성질을 갖는 상대 정규 작용소에 대한 국소 스펙트럼 이론을 연구하고 멱 영원 작용소를 모듈로하는 상대 정규 작용소의 국소스펙트럼 특성을 소개하고 연구한다.