Polyhedral Groups and Related Polytopes in Quaternions

Abstract

There are 5 types of finite subgroups of SL(n, C) conjugate to finite subgroups of SU(2). Such finite subgroups are called binary polyhedral groups and 3 of those finite subgroups of SL(n, C) are double cover of rotation group of certain 3 dimensional polyhedrons. Since SU(2) and the set of unit quaternions Sp(1) are isomorphic, we can write the elements of binary polyhedral groups in terms of quaternions. The aim of this paper is to give an intuitive way to understand binary polyhedral groups via 3 dimensional and 4 dimensional polytopes. I will introduce the construction method to verify pure quaternions which correspond to vertices of 3 dimensional regular polyhedrons by applying barycentric subdivision. All together the dual compound of the polyhedron and barycenters of the edges are pure imaginary quaternions which are projected images onto Im(H). The convex hull of all pure quaternions form a special polyhedra and the original unit quaternions of the vertices of the special polyhedra form 4 dimensional polytope. The union of 4 dimensional polytopes and its duals is binary polyhedral groups. This result helps us to understand binary polyhedral groups intuitively.;이 논문은 복소수 체 위에서 정의된 2 x 2 특수 선형군의 유한 부분군을 3차원 정다면체를 이용하여 구하는 방법을 설명한다. 유한 부분군은 2 x 2 정사각 행렬로 이루어진 특수 유니터리군의 유한 부분군과 켤레를 이루며 3차원 유한회전군의 이중덮개이다. 3차원 정다면체의 회전은 유한 회전군을 이루며, 이 때 쌍대성을 갖는 정다면체의 회전은 같은 회전축을 가지므로, 동일한 회전군으로 나타난다. 이 3차원 다면체의 유한 회전군은 특수 유니터리군에서 유한개의 원소를 갖는 바이너리 다면체군과 대응한다. 특수 유니터리군의 원소는 사원수와 대응한다는 사실을 이용하여, 사원수의 허수부가 이루는 3차원 다면체를 구하는 방법을 소개하고, 이들이 바이너리 다면체군과 어떠한 관계를 갖는지 설명하고자 한다.