On operators satisfying the generalized Cauchy-Schwarz inequality

Abstract

In this thesis, we introduce the generalized Cauchy-Schwarz inequality for an operator T 2 L(H) and study various properties of operators which satisfy the generalized Cauchy-Schwarz inequality. In particular, we show that every p-hyponormal operator satis es the generalized Cauchy-Schwarz inequality. And for T 2 L(H) satisfying the generalized Cauchy-Schwarz inequality, we obtain kerT kerT and kerT = kerT2. As a corollary, we get that if both T and T in L(H) satisfy the generalized Cauchy-Schwarz inequality with 0 =2 ap(T), then T has nite ascent and descent. We also prove that every T 2 L(H) satisfying the generalized Cauchy-Schwarz inequality is paranormal. Furthermore, we verify that if both T and T in L(H) satisfy the generalized Cauchy-Schwarz inequality, then T is normal.;본 논문에서는 일반화된 코시-슈바르츠 부등식을 소개하고 일반화된 코시- 슈바르츠 부등식을 만족하는 힐버트 공간상에서 정의된 유계선형작용소들의 성질에 관해 연구한다. 특히, 모든 p-초정규작용소들은 일반화된 코시-슈바르 츠 부등식을 만족함을 증명한다. 그리고 일반화된 코시-슈바르츠 부등식을 만 족하는 작용소에 대하여 작용소의 핵이 힐버트 수반작용소의 핵에 포함되고, 작용소를 제곱했을 때의 핵과 작용소의 핵이 같아짐을 보인다. 그것의 따름정 리로서 작용소와 힐버트 수반작용소가 모두 일반화된 코시-슈바르츠 부등식을 만족하고 0이 작용소의 근사점 스펙트럼에 포함되지 않는 경우, 작용소가 유한 에센트와 디센트를 가진다. 우리는 또한 모든 일반화된 코시-슈바르츠 부등 식을 만족하는 작용소들은 파라노말임을 증명한다. 더 나아가 만약 작용소와 힐버트 수반작용소가 모두 일반화된 코시-슈바르츠 부등식을 만족하면 작용소 가 정규임을 보인다.