역사 발생적 원리에 따른 미적분Ⅰ 수열의 극한 단원 수업 구성 및 적용 연구

Abstract

수학 개념 중 ‘극한’은 미적분 이론의 기초이며, 미적분은 다양한 분야에서 다뤄지는 중요한 이론 가운데 하나이다(Tall, 2003). 이에 본 연구에서는 2009개정 교육과정의 수학교과 중에서 미적분Ⅰ의 수열의 극한 단원의 구체적인 교수·학습방법에 대해서 연구하였다. 본 연구에서 구성한 수업의 지도방법은 역사 발생적 원리를 바탕으로 구성되었는데, 직관적으로 극한을 이해하는 과정에서 나타나는 오류를 엄밀한 정의를 학습함으로써 극복하는 것에 중점을 두었다. 이는 개념 학습 시에 직관적인 설명에만 의존하면 학생들이 정확한 개념을 형성하기 어렵기 때문이다(권오남·조현정, 1997). 또한 학습자가 경험할 수 있는 어려움을 파악하여 극복하도록 도울 수 있는 교수·학습 방법을 탐색하는 것에 본 연구의 목적이 있다. 우정호(2000)는 수학사 자료를 활용한 학습은 학생들에게 수학에 대한 흥미와 동기를 부여하고, 수학적 개념이나 교과서에 제시된 대수적 기호의 기원에 대해 알게 되면서 더 깊이 있는 이해를 할 수 있게 되는 계기를 제공한다고 하였다. 따라서 역사 발생적 원리에 따른 수열의 극한 단원 수업을 구성하고, 이를 학교 현장에 적용하여 수열의 극한 개념 이해와 수학에 대한 흥미 및 동기에 어떤 영향을 주는지 관찰해 보았다. 학습자의 개념 이해를 알아보기 위한 방법으로 성취도를 분석하였는데 이는 수업 전반의 내용을 바탕으로 구성된 형성 평가지를 근거로 하였다. 수학 학습태도에 대해 관찰할 수 있는 흥미 및 동기에 대한 부분은 수학 학습태도 검사지를 통해 알아볼 수 있었다. 한편, 교사와 학생 모두에게서 수업 전반에 대한 의견을 수렴하여 보완점과 개선점에 대해 고찰해보았다. 본 연구에서 구성한 수업의 1차시는 극한 개념의 초기 발생과 관련하여 급수에 대해 다룬 후, 이를 바탕으로 제논의 역설에 대한 논의를 할 수 있도록 모둠활동을 진행하였다. 2차시 수업은 수열의 극한에 대한 오류를 확인하고 이와 관련된 문제를 해결하는 모둠활동으로 구성하였는데, 문제는 학습자로 하여금 오류에 대해 지적하고 올바른 풀이를 확인하는 문제 해결 과정을 요구할 수 있도록 오류의 유형에 따라 제시되었다. 3차시 수업은 앞서 이뤄진 급수와 수열의 극한에 대한 기본성질을 바탕으로 기존에 직관적 이해를 엄밀한 정의에 대한 이해로 확장하고자 하였다. 앞선 수업에서 극한에 대한 하나의 개념으로서의 인식의 필요성과 그 체계화에 대해서 배우면서, 이 이론의 완성을 통해 오류를 극복하고 완전한 이해로 다가가는 것이 자연스럽게 받아들여지도록 앞선 수업과 개념 발달과정을 정리하며 엄밀한 정리로 소개하고 이와 관련된 문제를 해결하는 모둠활동으로 학습을 도왔다. 수업을 적용한 후 학생이 수열의 극한 단원에 대한 학습내용을 어떻게 이해하였는지 형성평가를 실시하였다. 1차시 수업 후 실시한 형성평가 결과에선 학생들의 급수 개념에 큰 영향을 끼치지 않았다. 이러한 결과는 발달 역사를 전체적으로 소개하면서, 학생들이 받아들이는 정보가 한 차시 내용에 담기엔 많은 부분이 있었기 때문으로 보인다. 또한 형성평가 문항에서 극한 개념에 대한 정의를 묻는 일반적이지 않은 문항을 출제함으로써 학생들이 문제의 의도를 파악하기 어려움이 있었기 때문으로도 해석할 수 있다. 그럼에도 불구하고 극한값의 의미에 대해 서술하라는 학생들이 접해본 적 없는 문항에 학생들의 답안 중에 극한 개념의 정의에 대해 스스로의 해석을 서술한 사례가 있었다. 2차시 수업에 대한 형성평과 결과에서 대부분의 학생이 주어진 식의 오류가 무엇인지 찾아내었고 그에 따른 올바른 풀이를 서술할 수 있음을 확인하였다. 또한 1차시 평가와 달리 개별 형성평가 점수가 높았는데, 그 이유는 우선 수업에서 제시된 오류에 대한 내용이 명확하게 2가지 오류유형이라고 정리된 점과 그 내용이 복잡하거나 어렵지 않아 학생들이 쉽게 이해했기 때문으로 보았다. 3차시 수업에 대한 형성평가 결과는 2차시 수업에 비해 학생들의 점수가 상대적으로 낮았다. 수업의 목표는 직관적으로만 이해했던 부분을 엄밀한 정의의 학습을 통해 수식으로 표현하고 증명할 수 있도록 하는 것이었는데, 단순히 과 의 값을 구하는 것을 목적으로 하는 학생을 발견할 수 있었다. 이는 수열의 극한은 초기 항의 의미보다 에 대한 항, 즉, 일 때 유한 항을 제외한 무한 항들에 대한 의미를 중요하게 받아들이지 못했다고 해석할 수 있다. 그러나 이는 한 차시의 수업만으로 학생들에게 충분히 학습되기 어려운 부분일 수 있다는 점과, 수업의 내용적 측면에서 언급이나 설명이 부족했다는 점을 고려해야 한다. 수업에 대한 평가 결과는 우선, 학생 입장에서 대체로 만족하고 극한 개념의 발달과정에 대해 흥미를 느끼는 편이라고 하였고 기타 자유의견을 살펴보면 극한 개념에 대한 오류에 관한 내용에 대해 흥미를 느끼고 제논의 역설에 대해 토론했던 부분을 긍정적으로 생각하였다. 하지만 수열의 극한에 대한 엄밀한 정의에 대한 3차시 수업이 세 번의 수업 중 학생들이 가장 어려워하였고 이는 극한 개념에 대한 이해에 3차시 직후 이뤄진 학습태도 검사에 부정적인 영향을 준 것으로 생각된다. 결과적으로 본 연구에서 이뤄진 역사 발생적 원리에 따라 재구성된 수업을 통해 학생들은 수열의 극한에 대한 개념 이해에 큰 도움이 되었다는 해석은 어려웠다. 하지만 수업을 통해 학생들은 새로운 관점에서 수열의 극한에 대한 문제를 접하게 한 점은 긍정적으로 볼 수 있었다는 평가를 하였고, 교사의 평가에서도 기존에 이뤄지던 수업과 다른 방식의 수업을 통해 학생들의 집중도와 참여도에 좋은 영향을 주었다고 하였다. 학교 현장에서 실제 이러한 수업을 진행하기 위해서는 교사가 교육과정에 맞추어 수업을 연구하고 이와 동시에 관련 수학사를 학습하여 자료 개발을 하는 것이 필요한데 이는 현실적으로 많은 어려움이 따른다. 그러므로 연구자들에 의해 관련 연구가 지속적으로 이뤄지고, 교사가 이러한 자료를 연구하고 적용할 수 있는 여유와 환경이 제공되어야만 한다. 수열의 극한에 대해 다양한 방법으로 지도하는 수업이 지속적으로 이뤄질 때 학생들의 극한에 대한 이해를 높일 수 있고, 중요한 기초이론에 대한 높은 이해는 관련된 다양한 분야의 이론 학습에도 긍정적인 영향을 줄 것으로 생각된다. 또한 본 연구에서 드러난 결과에서 나타난 문제점과 보완점을 토대로 역사 발생적 원리에 따른 교수방법의 장점이 충분히 드러나는 수업에 대한 연구되어질 수 있다고 생각한다.;Concept of 'limit' is the basis of calculus theory which is an important concept discussed in various fields(Tall, 2003). In this study, we investigated the specific teaching and learning method for limit of sequences in CalculusⅠ from the 2009 revised curriculum. The teaching methods which were developed in this study was composed based on the historic-genetic principle so that make students overcome errors from intuitive understanding of limit of sequences by extending it to strict definition. This allows to identify the difficulties that students experience and explore the teaching and learning methods that can help students to overcome the difficulties As a result of this study, it is difficult to interpret that the lesson helps for students to understand concepts of ‘limit of sequences’ through the lesson which was reconstructed by historic-genetic principle. But it can be a positive result that students could experience new aspects about ‘limit of sequences’ through this lesson. In other side, there are many difficulties for teachers to study lesson according to the curriculum, at the same time to develop materials through studying history of mathematics. For doing the lesson which was reconstructed by historic-genetic principle, studies relevant this lesson should be conducted continuously. The environments should be provided for teacher to study and to apply these materials about historic-genetic principle. I suggest that the study about lesson which permeate merits of a teaching and learning method according to historic-genetic principle should be conducted based on limitations and supplement points of this study.