중학교 2학년 수학 교과서의 기하영역에서 추측 과제와 정당화 설명 분석

Abstract

수학의 핵심인 증명은 추측에서 출발하였다. 수학자들의 행위에서 추측과 증명은 따로 분리된 과정이 아니라 추측을 통해 증명에 이르게 된다. 학교 수학에서 학생들은 완성된 수학적 증명만을 배우는 것이 아니라 수학자들처럼 탐구하고 추측하여 증명을 완성해가는 과정을 배우는 것이다. 기계적으로 증명의 아이디어를 암기하고 수동적으로 받아들여야 했던 전통적인 증명학습의 부작용은 수학에 대한 흥미를 떨어뜨리는 결과를 낳았다. 이러한 맥락에서 2009 개정 교육과정(교육과학기술부, 2011)에서는 형식적 증명보다 추측과 정당화 활동을 강조하고 있는데 특히 구체적인 조작활동이나 발견활동을 통해 학생들이 스스로 추측을 만들고 정당화를 하도록 명시하고 있다. 본 연구는 중학교 2학년 수학 교과서가 학생들에게 추측 활동을 어떤 방식과 기회로 제공하고 있고 정당화는 어떻게 소개하고 있는지를 살펴보고자 한다. 이를 위해 탐구하는 활동과 문제에서 추측 과제를 분석하고 내용설명과 예제에서 정당화 설명을 분석함으로써 현행 교과서를 활용해 교사가 추측 활동과 정당화를 체계적이고 효과적으로 지도할 수 있도록 돕고자 한다. 이에 따라 본 연구에서는 먼저 Cañadas 외 4인(2007)과 Lin 외 4인(2012)의 연구를 바탕으로 4가지 사고방법(지각, 귀납, 유추, 가추)과 4가지 기회(관찰, 구성, 변형, 반성)의 두 가지 차원으로 통합하여 ‘추측 과제의 교과서 분석틀’을 개발하였고, 김정하(2010)의 정당화 단계를 교과서 실정에 맞게 재구성하여 ‘정당화 설명의 교과서 분석틀’을 설정하였다. 다음은 구성된 틀을 통해 분석하고자 하는 연구문제를 설정한 것이다. 첫째, 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 2학년 수학 교과서는 ‘삼각형의 성질’ 단원과 ‘사각형의 성질’ 단원의 탐구활동과 문제에서 추측 과제를 어떻게 제공하고 내용설명과 예제에서 어떤 정당화 설명을 제시하는가? 둘째, 2007 개정 교육과정에 의한 중학교 2학년 수학 교과서와 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 2학년 수학 교과서의 추측 과제와 정당화 설명에는 어떠한 차이가 있는가? 이러한 연구문제를 해결하기 위해 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 2학년 수학교과서 13종과 2007 개정 교육과정에 의한 중학교 2학년 수학교과서 5종을 선정하였다. 분석 대상은 추측 과제 후에 정당화 설명이 있는 경우를 대상으로 분석하였다. 연구문제 1에서는 분석틀로 전체 분포와 교과서별 특징을 분석한 다음에 ‘삼각형의 성질’ 단원과 ‘사각형의 성질’ 단원에서 특징을 분석하였다. 연구문제 2에서는 2007 개정 교육과정의 의한 교과서의 특징을 살피고 2009 개정 교육과정에 의한 교과서와 비교·분석하였다. 연구문제 1, 2의 분석결과를 종합하면, 첫째, 13종 교과서의 탐구활동과 문제에서 추측 과제는 대부분 지각과 가추의 사고를 사용하고 모두 관찰의 기회를 제공하고 있으나 구성의 기회는 반 정도만 제공하고 있다. 귀납과 유추의 사고로 추측하는 과제와 반성의 기회를 제공하는 과제는 드물고 변형의 기회는 활용되지 않고 있다. 이는 교과서의 도입부분에서 도형을 조작하고 관찰하며 지각적으로 수학적 성질을 탐구하고 추측하는 과제를 주로 다루고 있기 때문이다. 또한 교과서의 정당화 설명은 모두 형식적 정당화를 소개하고 있었다. 즉 교과서의 상황에서 학생들은 대부분 지각만이거나 가추적인 추측 과제를 다루고 추측의 기회들은 다양하게 제공받지 못하고서 형식적으로 정당화를 접하게 된다. 이는 학생들이 2009 개정 교육과정에서 명시하고 있는 발견적 사고과정인 귀납과 유추의 사유형식을 활용하지 않고 연역적 정당화를 학습하게 되므로 인지적 부담을 일으킬 수 있다고 생각된다. 둘째, 추측의 방법별로 한 과제에서 제공할 수 있는 기회들에 차이가 있다. 지각만을 사용하는 추측 과제와 귀납적 추측 과제는 관찰이나 구성의 기회까지만 제공하고 있고 유추적 추측 과제와 가추적 추측 과제는 반성의 기회까지 제공하고 있다. 또한 대부분의 교과서는 정당화하고자 하는 수학적 성질에 대한 추측 과제를 비슷한 형태로 제시하고 있기 때문에 ‘사각형의 성질’ 단원에는 유추적 추측 과제가 없었다고 분석된다. 즉 교과서에서 주어지는 추측 과제를 단순히 제시하는 것으로 추측 활동을 강화시키기에 어려울 것으로 예상된다. 셋째, 2007 개정 교육과정보다 2009 개정 교육과정의 수학 교과서는 귀납적 추측 과제를 좀 더 제시하고 있고 구성의 기회와 반성의 기회도 좀 더 제공하고 있다. 이는 추측 활동이 강화되는 변화의 징조로 생각해 볼 수 있다. 그러나 두 교육과정 모두에서 변형의 기회는 제공하지 않고 있어 잘 설계된 추측 과제로 계속적인 개선이 필요하다. 또한 정당화 설명은 전체적으로 모두 형식적 정당화를 제시하고 있다는 점에서 비슷하지만 증명과 관련된 용어들이 삭제되고 보조수단으로 시각적 예를 적극적으로 활용하거나 기호만 나열하지 않고 언어적 서술로 다시 표현하는 차이가 나타나 학습자의 수준을 고려한 노력이 나타났다. 즉 2007 개정 교육과정에 비해 2009 개정 교육과정의 수학교과서에서 정당화 설명에도 변화의 징조가 확인되었다. 결론적으로 추측 과제는 추측 활동을 강화시킬 수 있도록 더 충실히 설계되고 정당화 설명은 학습자의 수준에 맞는 다양한 소개가 이루어져야 함을 알 수 있다. 그러나 교과서에 많은 내용을 수록할 수 없으므로 교사들은 그 한계를 인식하고 다양한 사고방식과 기회들로 구현된 추측 과제와 수준에 맞는 정당화 과제를 활용한 후 학생들이 형식적 정당화를 학습할 수 있도록 지도해야 할 것이다.;Proof, the essence of mathematics, started from conjecture. Conjecture and proof in the behavior of mathematicians are not a separate process but reach proof through conjecture. Students not only learn completed mathematical proofs from school mathematics but also learn the process to complete proofs through investigation and conjecture like mathematicians. The side effect of the traditional proof learning that mechanically memorize and passively accept the ideas of proofs brought about the result to reduce interest in mathematics. In this context, the 2009 Revised Curriculum (the Ministry of Education, Science and Technology, 2011) emphasizes conjecture and justification activities more than formal proofs and in particular, it clearly states independent conjecture and justification of students through the concrete operational activity or discovery activity. This study is going to examine in what methods and chances the mathematics textbooks for the second grade in middle school provide the conjecture activity to the students and how justification is introduced. For this, it tries to help teachers systematically and efficiently guide the conjecturing activity and justification by utilizing the current textbooks through analysis of conjecturing tasks in the investigation activity and problems and of justification explanation in content explanation and examples. Accordingly, this study first integrated Cañadas and 4 researchers (2007) and Lin and 4 researchers (2012) into the two levels of 4 thinking methods (perception, induction, analogy, abduction) and 4 chances (observation, construction, transformation, reflection), and developed the ‘Textbook analysis Frame of Conjecturing Tasks’, and recomposed the justification stage of Kim Jeong-ha (2010) and established the ‘Textbook Analysis Frame of Justification Explanation.’ Research problems for analysis through composed frames are established as follows: First, how are conjecturing tasks provided in the investigation activity and problems and what are justification explanations in content explanation and examples provided in the units of the ‘characters of a triangle’ and ‘those of a quadrangle’ by the mathematics textbooks for the second grade in middle school by the 2009 Revised Curriculum ? Second, what are the differences in the conjecturing tasks and justification explanation between the mathematics textbooks for the second grade in middle school by the 2007 Revised Curriculum and those by the 2009 Revised Curriculum? In order to solve these research problems, 13 types of mathematics textbooks for the second grade in middle school by the 2009 Revised Curriculum and 5 types of those by the 2007 Revised Curriculum were selected. The objects of analysis were the cases that have justification explanations after conjecturing tasks. Research problem 1 analyzed the characteristics in the units of the ‘characters of a triangle’ and ‘those of a quadrangle’ after analysis of the whole distribution by textbook with the analysis frame. Research problem 2 examined the characteristics of the textbooks by the 2007 Revised Curriculum, and compared and analyzed those by the 2009 Revised Curriculum with the 2007's. To sum up the analysis results of research problem 1 and 2, first the conjecturing tasks mostly used perceptual and abductive reasoning in the investigation activity and problems of the 13 types of textbooks and both provided chances of observation, but only half of them provided the chances of construction. The conjecturing tasks with induction and analogy, and provide chances of reflection are rare and the chance of transformation is not utilized. It is because the introduction parts of the textbooks mostly deal with tasks that operate and observe figures, and perceivedly investigate and conjecture mathematical characters. Besides, the justification explanations of the textbooks all introduced formal justifications. That is, most of the students deal with only perceptual or abductive conjecturing tasks in the situations of the textbooks, and they encounter formal justification with no various conjectural chances provided. It is believed that students feel cognitive burdens because they utilize the reasoning type of induction and analogy that is the discovery reasoning process that is stated in the 2009 Revised Curriculum but learn deductive justifications. Second, there are differences in chances that can be provided by a task through each conjectural method. The conjecturing tasks using only perception and inductive conjecturing tasks provide just the chances of observation or construction, and analogic conjecturing tasks and abductive conjecturing tasks provide even the chances of reflections. Besides, since most of the textbooks provide similar types of conjecturing tasks about the mathematical characters to justify, the unit of the ‘characters of a quadrangle’ was analyzed to have no analogic assignment. Namely, it is expected that simple provision of the conjecturing tasks given by the textbooks have difficulties in reinforcing the conjectural activity. Third, the mathematics textbooks of the 2009 Revised Curriculum provide more inductive conjecturing tasks and more chances of construction and reflection than those of the 2007 Revised Curriculum. This can be considered to be the sign to reinforce the conjectural activity. However, since the chances of transformation are not granted to all the two curriculums, it needs continuous improvement to well conjecturing tasks. Besides, justification explanations are similar in the point that in general, all suggest formal justifications but the efforts to consider the levels of learners get shown on the face because terms related proof are erased, visual examples are actively utilized as a supplementary method or there are differences to express in linguistic description that does not use only symbols. In other words, the sign of changes was confirmed to the justification explanations in the mathematics textbooks of the 2009 Revised Curriculum compared to those of the 2007 Revised Curriculum. In conclusion, it is recognized that conjecturing tasks should be faithfully designed to reinforce the conjecturing activity, and justification explanations should be diversely introduced in compliance with the levels of learners. However, as many contents are difficult to be included in a textbook, teachers should recognize its limitation and guide students to learn formal justification after utilizing justification tasks suitable for levels and conjecturing tasks implemented by various thinking methods and chances.