Basis Estimation Through Optimal Sufficient Dimension Reduction under Singularity Constraint

Abstract

매 초단위로 집적되는 정보로 인해 현시대의 자료는 거대하고 높은 차원을 가진 빅데이터가 되었다. 이러한 고차원 자료는 관측의 수를 변수 차원의 크기가 압도하여 다변량 회귀분석을 하는 경우, 그 추정의 정밀성이 떨어지게 되므로 사전에 정보의 손실 없는 충분 차원축소(Sufficient Dimension Reduction, SDR) 방법론을 이용할 수 있다. 기존 통계학 연구를 통해 개발된 충분 차원축소 방법론은 실제로 흔히 발생할 수 있는 변수간 상관관계로 인한 내적 행렬의 특이성(singularity)을 고려하지 않는다는 한계점을 가진다. 본 논문에서는 이를 극복하기 위하여 singularity가 존재하는 경우에 카이제곱 검정의 적합성과 기저행렬 추정의 효율성을 유지한 충분 차원 축소 방법을 알아보고 차원축소 부분공간의 기저행렬 추정을 논한다. 모의실험을 통하여 완전한 singularity가 존재하지는 않으나 변수간에 상관관계가 존재하는 현실적인 가정하에서 기존 충분 차원축소 방법론에 비한 본 방법의 차원축소 부분공간 기저행렬 추정에서의 효율성을 확인한다.;Due to the increasing speed of data accumulation, current data sets have been massive and got the name of ‘Big Data’. To analyze this high-dimensional data, Sufficient Dimension Reduction (SDR) methodology has been developed. SDR is a useful methodology for multivariate regression analysis of high-dimensional data. However, prior researches did not consider the case that the inner product matrix, which is required to have an inverse for the application of chi-squared test, is positive semidefinite. In this case, which happens frequently in real data analysis, existing SDR methods may lose the optimality of chi-squared distribution and the asymptotic efficiency of the basis estimation. In this paper, we discuss an optimal sufficient dimension reduction under singularity constraint and estimate the basis matrix of the central subspace. We investigate the efficiency of the suggested method by numerical studies.