An Elementary Proof of the Optimal Recovery of the Thin Plate Spline Radial Basis Function

Abstract

In many practical applications, we face the problem of reconstruction of an unknown function sampled at some data points. Among infinitely many possible reconstructions, the thin plate spline interpolation is known to be the least oscillatory one in the Beppo-Levi semi norm, when the data points are sampled in R2. The traditional proofs supporting the argument are quite lengthy and complicated, keeping students and researchers off its understanding. In this article, we introduce a simple and short proof for the optimal reconstruction. Our proof is unique and reguires only elementary mathematical background.;이 논문은 2차원 상의 분산된 유한개의 지점들에서의 값들에 대해서 thin plate spline 함수를 이용한 보간법(interpolation)이 Beppo-Levi semi norm에 대해 최적의 복원 결과를 준다는 것을 수학적으로 증명한다. thin plate spline은 보간법에 널리 쓰이는 radial basis function들 중 하나로 이산적으로 주어진 유한개의 자료값들을 바탕으로 원래의 함수를 근사하는데 성공적인 도구로 사용되어왔다. 그러나 이 함수를 이용한 보간법의 최적 복원에 대한 기존의 증명은 그 내용이 길고 복잡하여 직관적으로 이해하기가 힘들었다. 우리는 미분적분학, 선형대수에 기반하는 기초적인 개념만을 사용해서 thin plate spline 함수를 이용한 보간법이 최적의 복원 결과를 준다는 것을 증명하였다. 또한, thin plate spline 함수를 이용한 보간법을 영상왜곡에 응용해 보았다. 이를 통해 시각적으로도 thin plate spline 함수를 이용한 보간법이 최적의 복원 결과를 준다는 것을 확인할 수 있으며 본 논문의 수학적 증명에 대한 이해를 도울 수 있다.