교사의 스캐폴딩 제공에 따른 비(非)구조화된 수학문제의 해결과 학생 간 상호작용에 관한 연구

Abstract

As problem situations which require an understanding of mathematics in everyday life have been increasing, mathematics has been recognized as an important tool to solve the problems that occur in a variety of contexts. Also, mathematical knowledge and problem solving ability have been required in a number of disciplines. As a result, mathematics education has shown a high interest in the mathematics learning outside the school, and has emphasized the mathematical process knowledge to be able to help to solve the practical problems that will face outside the school. Therefore, there has been a need for teaching and learning to help to understand the relevance of mathematical knowledge learned in schools and problem solving skills learned in daily life. It can reduce the gap between school mathematics and real-world mathematics, and develop the mathematical problem solving abilities. As a way for this, the present study proposes to utilize the ill-structured mathematical problems which are authentic, complex, and open-ended in mathematics teaching and learning. Previous Studies on the ill-structured mathematical problem-solving have been conducted by comparing the results from different aspects of the mathematical process knowledges, such as mathematical reasoning, decision-making, proportional reasoning, mathematical abstraction, etc. In addition, other previous studies have demonstrated the effectiveness of scaffolding which helps students to overcome the difficulties experienced in defining and identifying the complex and ambiguous ill-structured mathematical problems. However, there is a further need for a research to investigate why problem solving is carried out differently and how scaffolding facilitates the process of the ill-structured mathematical problem-solving at the state of the site where problem solving takes place. Therefore, the present study sought to analyze as to whether scaffolding facilitates the ill-structured mathematical problem-solving, and to clarify the aspects of interactions that appeared in the process of the ill-structured mathematical problem-solving. And it sought to explore the relationship between problem solving and interaction when the scaffolding is provided in the process of the ill-structured mathematical problem-solving. For the present study, the specific research questions have been set as follows: 1. What features are found in the process of the ill-structured mathematical problem-solving according to teacher’s scaffolding? 2. What are the aspects of interactions in the process of the ill-structured mathematical problem-solving according to teacher’s scaffolding? 3. What is the relationship between problem solving and interaction in the process of the ill-structured mathematical problem-solving according to teacher’s scaffolding? Students who participated in the present study were four 6th graders(2 females and 2 males) at the elementary school in Seoul. They followed the criteria for selecting the case to meet the purpose of the present study, belonging to the selection range of subjects and being selected among the students who wish to voluntarily participate. For the present study, the ill-structured mathematical problems have been developed based on ratio and proportion, which are the important mathematical concept that can frequently be met in everyday life and connected with other subjects in a wide range. In the present study, data were collected around the discourse of the members made during the process of the collaborative problem solving, and additionally activity sheets and interview discourse. The research finding can be summarized as follows. First, the present study showed that the teacher’s scaffoldings such as a strategic scaffolding or a metacognitive scaffolding, which were adapted to the current state or level of performance in the ill-structured mathematical problem-solving, generally facilitated the problem solving itself, and the features of problem solving were a high-level that appeared in an expert’s problem solving. It can be seen that the scaffolding is provided as contingent on the ill-structured mathematical problem-solving. Second, the present study categorized interactions into scattered, generative, cumulative, constructive or exploratory types. It was the feature of the present study that the scattered type of interactions was emerged because the characteristics of the ill-structured mathematical problems elicited the different and various understanding of the given problem situations. After providing a scaffolding in the process of the ill-structured mathematical problem-solving, the type of interactions was more advanced than the current level of interaction happening in each stage of problem solving. Third, verbal interactions primarily took place between students during the collaborative ill-structured mathematical problem-solving, and appeared to be associated with the contents of problem solving. It found that there was a relationship between interaction and problem solving. In particular, teacher’s scaffolding helped to change the type of interactions into a more advanced level during the ill-structured mathematical problem-solving, and the advanced level of interactions has been shown to facilitate the ill-structured mathematical problem-solving. Implications from the findings of the present study include the following. First, it is important that providing the scaffolding should be contingent on the current state or level of the problem solving performance in order to facilitate the process of the ill-structured mathematical problem-solving. Scaffolding extends the ability of the ill-structured mathematical problem-solving, and helps to improve self-regulation ability to solve the ill-structured mathematical problems without the help of a teacher. Second, it is necessary to diversify the criteria of interaction analysis depending on the purpose of providing the scaffolding. Thus, it will be able to analyze the effect of the interaction on the ill-structured mathematical problem-solving in detail. Third, it is important to understand the mechanism of interactions that lead to facilitate the ill-structured mathematical problem-solving. Based on findings and implications, there are several proposals for future research. First, considering the flow of the study on scaffoldings, there is a tendency to focus on the relationship between the teacher who gives the help of scaffolding and the student who receives the help of scaffolding provided. In order to further develop this, the research on teacher professional development is needed about how teachers can provide scaffolding to significantly affect on learning. Second, it is needed to examine scaffolding generated by the learners when they collaboratively solve the ill-structured mathematical problems, and the relevance between scaffolding generated by the learners and peer interactions or problem solving. Third, the interaction mechanism should be refined to comprehensively analyze the content and the structure of the relationship between problem solving and interaction when scaffolding the ill-structured mathematical problem-solving. Fourth, it is needed to clarify the small group configuration strategy that can help teachers to provide the scaffolding efficiently when there are many students in the classroom. The present study has the significance in that it presents the implications for providing the scaffolding to help the ill-structured mathematical problem-solving, and searching for the reason that problem solving being differently performed by exploring the relationship between problem solving and interaction.;일상생활에서 발생하는 문제 상황들이 수학에 대한 이해를 요구하는 경우들이 늘어나면서 다양한 맥락에서 발생하는 문제를 해결하는 데 수학이 중요한 도구로 인식되고 있다. 여러 전문 분야에서 문제해결과 함께 수학적 지식을 필요로 하는 경우가 많아지면서, 수학교육에서도 학교 상황이나 학문적 상황 이외에서 가능한 수학 학습이나 수학적 실제에 관한 높은 관심을 보이고 있으며 수학과 교육과정에서는 학교 밖에서 마주하게 되는 실제적인 문제 상황을 해결하는 데 도움이 될 수 있도록 수학적 과정을 강조한다. 따라서 학교 수학 교실에서 학습한 수학적 지식과 일상생활에서의 문제해결 사이의 관련성을 이해하도록 도와 학교 수학과 실세계 수학의 간극을 줄이고, 수학적 문제 해결 능력을 신장시킬 수 있도록 이끄는 수학 교수·학습이 필요하다. 이에 대한 하나의 방안으로 실세계 맥락에 기반을 두어 복잡하고 개방적인 비(非)구조화된 수학문제를 활용한 교수·학습을 제안할 수 있다. 비구조화된 수학문제의 해결에 관한 연구들은 수학적 추론, 의사결정, 비례 추론, 추상화 등 수학적 과정의 다양한 측면에서 결과를 비교하는 방식으로 진행되어 왔다. 또한 비구조화된 문제의 해결에서 문제를 파악하고 정의내리는 과정에서 겪는 어려움을 극복하도록 돕는 스캐폴딩을 제공하고 그에 따른 효과성을 밝혀 왔다. 그러나 여기서 더 나아가 문제해결이 다르게 나타나는 이유나 문제해결을 돕는 스캐폴딩의 제공이 어떤 도움이 되는지에 대해 문제해결이 일어나는 현장의 모습에 대해 탐색하는 연구가 이루어질 필요가 있다. 이에 본 연구에서는 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 스캐폴딩을 제공할 때 나타나는 문제해결의 특징 및 문제를 해결하는 과정에서 나타난 상호작용을 유형화하여 상호작용이 나타나는 양상을 분석하였다. 이를 기반으로 하여 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 스캐폴딩을 제공할 때, 문제해결과 상호작용 간의 관련성을 탐색하고자 하였다. 이를 위해 본 연구에서는 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. 1. 교사가 제공하는 스캐폴딩에 따라 비구조화된 수학문제의 해결에서 나타나는 특징은 무엇인가? 2. 교사가 제공하는 스캐폴딩에 따라 비구조화된 수학문제의 해결과정에서 학생 간 상호작용은 어떻게 나타나는가? 3. 교사가 스캐폴딩을 제공할 때, 비구조화된 수학문제의 해결과 학생 간 상호작용은 어떻게 관련되는가? 본 연구에 참여한 학생들은 서울시내 A 초등학교의 6학년 학생들로, 본 연구의 목적에 부합하는 사례 선정 기준에 따르며 대상자 선정 범위에 속하는 학생들 중에서 자발적으로 참여를 희망하는 학생들로 선정하였다. 본 연구에서 활용한 비구조화된 수학 문제는 생활에서 자주 경험할 수 있고 다른 교과와 연계지어 폭넓게 다룰 수 있는 개념인 비와 비율을 중심으로 개발하였다. 본 연구에서는 언어적 상호작용에 해당하는 부분만을 대상으로 하기 때문에 그룹별 활동 시 이루어지는 구성원들의 담화 자료를 중심으로 수집하였고, 그 이외에 문제해결 활동지 및 인터뷰 담화의 자료를 수집하였다. 자료 분석을 위해 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 발생한 담화는 주제에 따라 에피소드를 분석단위로 하여 결과분석을 실시하였다. 연구문제에 따른 결과 및 논의 내용은 다음과 같다. 연구문제 1에서는 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 문제 상황에서 필요한 정보를 확인하고 조직화하도록 돕는 전략적 스캐폴딩과 문제해결책이 적절한지에 대해 점검 또는 평가하도록 돕는 메타인지적 스캐폴딩의 제공한 결과, 비구조화된 수학문제의 해결을 촉진하여 전문가의 문제해결에서 나타나는 높은 수준의 문제해결이 보이는 특징이 나타났다. 이는 제공한 스캐폴딩이 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 상황에 맞게(contingent) 제공된 것으로 볼 수 있다. 연구문제 2에서는 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 산발적(scattered), 생성적(generative), 누적적(cumulative), 구성적(constructive), 탐색적(exploratory) 유형이 나타났다. 비구조화된 문제의 특성으로 인해 문제 상황에 대해 구성원들이 접근하는 정도와 이해하는 수준이 다르기 때문에 산발적 유형이 나타났다는 점이 특징적이다. 또한 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 스캐폴딩을 제공한 결과, 문제해결의 각 단계에서 현재에 일어나고 있는 상호작용의 수준보다 더 발전된 상호작용의 유형이 나타났다. 연구문제 3에서는 비구조화된 수학문제를 협력적으로 해결하는 과정에서 구성원들 간에 언어적 상호작용이 주로 일어났고, 그 언어적 상호작용이 대부분 문제해결의 내용과 관련한 것으로 나타나면서 상호작용과 문제해결 간에 관련성이 있는 것으로 나타났다. 특히, 교사가 스캐폴딩 제공함으로써 문제를 해결하는 과정에서 발생하는 상호작용의 유형이 더 발전된 수준으로 변화하도록 돕고, 발전된 수준으로의 상호작용 유형의 변화는 문제해결의 촉진으로 이어지는 것으로 나타났다. 본 연구에서 나타난 결과를 토대로 다음과 같이 결론을 도출하였다. 첫째, 비구조화된 수학문제의 해결을 촉진하기 위해서는 문제를 해결하는 과정에서 문제 해결의 상황에 맞게 스캐폴딩을 제공하는 것이 중요하다. 스캐폴딩의 제공은 학습자의 비구조화된 수학문제를 해결하는 능력을 신장시키고, 학습자들이 교사의 도움 없이도 스스로 비구조화된 문제를 해결할 수 있도록 하는 자기조절 능력을 증진시킬 수 있기 때문이다. 둘째, 문제를 해결하는 과정에서 스캐폴딩을 제공하는 목적에 따라 상호작용 분석 기준을 다양화하여 특징을 분석하여야 한다. 이를 통해 상호작용이 문제해결에 미치는 영향을 상세하게 분석할 수 있을 것이다. 셋째, 수학적 문제해결 신장을 위한 교수·학습 설계의 발전을 도울 수 있도록 비구조화된 수학문제를 해결하는 과정에서 스캐폴딩을 제공하였을 때 문제해결이 촉진되도록 이끄는 상호작용의 특징을 이해하는 것은 중요하다. 앞서 제시한 결과를 기반으로 하여 비구조화된 수학문제를 활용한 교수·학습 설계와 관련하여 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 스캐폴딩 제공에 관한 연구들의 흐름을 보면, 최근에는 스캐폴딩을 제공하는 교사와 스캐폴딩 제공의 도움을 받는 학생 간의 관계에 주목하고 있다. 이를 더 발전시키기 위해서는 스캐폴딩이 학습자의 학습에 유의미하게 작용하고 교사가 학습자의 상황에 맞게 스캐폴딩을 제공할 수 있도록 돕는 교사 전문성 신장에 관한 연구가 필요하다. 둘째, 소그룹이 협력적으로 비구조화된 문제를 해결할 때 상호작용하는 과정에서 학습자에 의해 발생하는 스캐폴딩과 그로 인한 문제해결 또는 상호작용의 변화에 관한 연구가 필요하다. 셋째, 교사의 스캐폴딩의 제공에 따른 비구조화된 수학문제의 해결과 상호작용의 관련성에 대해 내용 분석 방법과 구조적 측면에 대해 통합적 분석을 실시하여 상호작용 메커니즘을 구체화하는 연구가 필요하다. 넷째, 스캐폴딩 제공이 교수·학습 과정에서 효과적으로 작용할 수 있도록 교사와 학생이 일대 다수의 관계를 갖고 있는 교실 환경의 조건을 극복할 수 있는 방안 중의 하나로 소그룹 구성 전략을 구체화하는 연구가 필요하다. 본 연구는 문제해결에 관한 선행연구들에서 문제해결의 결과가 다르게 나타나는 부분에 관심을 가졌던 것에서 더 나아가 문제해결을 돕는 스캐폴딩 제공에 대한 시사점을 제시하고, 문제를 해결하는 과정에서 발생하는 상호작용과 문제해결의 관련성을 밝혀 문제해결이 다르게 나타나는 이유를 밝히고자 했다는 점에서 본 연구의 의의를 찾을 수 있다.