Gravitational Perturbation of Traversable Wormholes

Abstract

The purpose of this study is to characterize the gravitational perturbation in the traversable wormhole spacetime and analyze the stability. We study the metric perturbation of the non-stationary and non-axisymmetric spacetime in the line of the linearized theory of gravity, restricting our interest to the first order(linear) term. We assume that the time dependence follows the Fourier decomposition and the angular dependence is expressed in terms of the Legendre functions. Therefore, we can see the beauty of the separation of the variables that enables us to solve the complicated equations analytically. First, we examine the axial tensor perturbation which induces a dragging of the inertial frame and causes the rotation to the wormhole. Second, we consider the polar tensor perturbation. In both cases, we solved the Einstein equations and obtain the one-dimensional Schrődinger-like equations with the potential barriers. We also solve the Einstein equations, including the interaction between the background matter and the external gravitational perturbation. Furthermore, we compute the quasi normal modes of perturbed traversable wormholes to analyze the stability of the spacetime. As a second objective, we withdraw the gravitational perturbations by adopting the Newman Penrose formalism into the traversable wormhole spacetime. The approach via the Newman Penrose formalism is less complicated and more intrinsic to see the gravitational perturbations affected by the external source. The perturbation is expressed in terms of the second order time-dependent partial differential equations. However, it does not have a closed solution analytically so that we have to solve it numerically. We use the computer algebra system Maple 18 to solve the coupled radial equations numerically. Our results indicate that traversable wormholes are stable against the external gravitational perturbation and that they oscillate with quasi normal frequencies. Both approaches via the linearized theory of gravity and the Newman Penrose formalism yield the same results.; traversable 웜홀은 멀리 떨어진 두 시공간을 잇는 웜홀 중에 안전한 시공간 여행이 가능한 안정적인 웜홀로서 공상 과학영화 혹은 소설에서 자주 등장하고 있다. 최근 암흑에너지에 대한 관측이 활발히 이루어지면서 안정적인 웜홀이 존재할 수 있는 가능성이 여전히 힘을 얻고 있다. 그러나 물질이 웜홀에 빨려 들어갔을 때 기존 웜홀의 시공간과 상호작용을 함으로써 기존 시공간이 불안정하게 될 수 있다는 점이 해결해야 할 과제로 남아있다. 우리는 traversable 웜홀이 존재하기 위한 여러 가지 조건 중에 물질이 웜홀에 들어갔을 때 시공간이 안정적이어야 하고 이로 인해 나오는 중력 섭동이 작아야 한다는 조건이 주목하였다. 본 연구는 두 가지 방법으로 traversable 웜홀의 중력 섭동에 대해 이해하고자 하였다. 첫 번째로 중력 이론의 1차 선형 전개(the linearized theory of gravity)를 적용하여 아인슈타인 방정식을 풀어 섭동 방정식을 얻었다. 웜홀에 들어가는 물질과 기존 시공간 사이의 상호 작용이 없는 경우와 있는 경우를 함께 고려하였다. 두 번째로 tetrad formalism의 하나인 Newman-Penrose Formalism을 사용하여 섭동 방정식을 얻었다. 두 가지 방법에서 모두 변수 분리를 통해 고유 거리(proper radial distance)에만 의존하는 선형 지름 방정식(radial equation)을 얻었다. 적절한 좌표 변환을 통해 이를 1차원 슈뢰딩거 방정식과 같은 형태로 바꾸었고 WKB approximation method를 사용하여 섭동의 quasi normal modes를 계산하여 시공간의 안정성을 분석하였다. 본 논문에서 고려한 두 가지 방법으로 도출해낸 네 가지 중력섭동 모델 모두 traversable 웜홀의 시공간이 중력섭동에 대해 안정하다는 일치된 결과를 얻을 수 있었다. 또한 중력파에 의해 건드려진 traversable 웜홀의 quasi normal mode의 진동수의 실수 값과 허수 값의 비가 블랙홀과 비교하였을 때 더 큰 값을 보였다. 이는 중력파가 더 빠르게 진동하는 것을 의미하므로 중력파를 통한 웜홀 검출이 한층 더 용이하다고 볼 수 있다. 본 연구는 웜홀을 구성하고 있는 물질과 배경 시공간 사이의 상호작용까지 고려했다는 점에서 기존 연구와 차별화 된다. 또한 중력파 데이터 분석을 통해 웜홀 관측 가능성에 방향을 제시한다.