Classification of cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8) of length 2^(e)

Abstract

There has been a growing interest in studying cyclic codes and self-dual codes over a finite ring Z_(m) (m is a positive integer). If C is a cyclic code over Z_(m) of length n, then an element c = (c_(0), c_(1), ... c_(n-1)) in C is identified with a polynomial f(x)=c_(0)+c_(1)x+...+c_(n-1)x^(n-1) modulo (x^(n)-1). Under this correspondence, a code is a cyclic code over Z_(m) if and only if I =< f(x) > is an ideal of the quotient ring Z_(m)[x]/<x^(n)-1>. We study cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8) of length 2^(e) (e is positive integer). We completely determine the generators of cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8) of length 2^(e). We find that there are exactly three types for the generators of cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8) of length 2^(e). By using Magma, we find the list of the generators of cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8) of lengths up to 32. We also discuss Type I and Type II cyclic self-dual codes over Z_(4) or Z_(8).;유한한 환 Z_(m) (m은 양의 정수) 위에서 순환 부호와 자기 쌍대 부호에 관한 연구는 지금까지도 흥미를 끌게한다. 만약 Z_(m) 상에서 길이가 n인 부호 C가 순환 부호라면, C 안의 부호 워드 c = (c_(0), c_(1), ..., c_(n-1))는 (x^(n)-1)로 모듈러를 한 다항식 f(x)=c_(0)+c_(1)x+...+c_(n-1)x^(n-1)에 대응된다. 이와 같은 관련성으로, Z_m 상에서 순환 부호 C는 상환 Z_(m)[x]/<x^(n)-1>의 아이디얼 I=<f(x)>이 되는 필요 충분 조건이 된다. 우리는 Z_(4) 또는 Z_(8) 상에서 길이가 2^(e) (e는 양의 정수)인 순환 자기 쌍대 부호에 대해 공부를 했다. 그리고 우리는 완벽히 Z_(4) 또는 Z_(8) 상에서 길이가 2^(e)인 순환 자기 쌍대 부호의 생성원들을 알아내었다. 이때, Z_(4) 또는 Z_(8) 상에서 길이가 2^(e)인 순환 자기 쌍대 부호의 생성원들은 정확히 세 가지 유형이 있었다. 계산 소프트웨어 Magma를 사용해서 Z_(4) 또는 Z_(8) 상에서 길이 32까지의 순환 자기 쌍대 부호의 생성원들을 모두 찾았다. 또한 우리는 Z_(4) 또는 Z_(8) 상에서 타입 I과 타입 II의 순환 자기 쌍대 부호를 알아보았다.