Construction of formally self-dual codes over Z_4

Abstract

Formally self-dual codes are an interesting class of codes in coding theory. One of the reason is that there are formally self-dual codes which have larger minimum weights than self-dual codes. Most of studies on formally self-dual codes have been done over a binary field. In this thesis, we discuss the construction methods of formally self-dual codes over Z_4. Using MacWilliams identity, we first find some Lee weight enumerator relations between formally self-dual codes of length n and n+2. We then find explicit methods to extend formally self-dual codes of length n to formally self-dual codes of length n+2 which have the Lee weight enumerators we find. We obtain all formally self-dual codes of length 2 and 4 up to equivalence. We find formally self-dual codes of length 6 and 8 which can be obtained by our construction methods and MAGMA. Furthermore, we find formally self-dual codes of length 10 and 12 by using some of our methods. We find all the Lee weight enumerators of formally self-dual codes which can be found by using our construction methods. We also obtain some binary formally self-dual codes of length 4 and 8 using the Gray map.;코딩 이론에서 포멀리 자기 쌍대 코드는 흥미로운 분야이다. 그 이유 중 하나는 자기 쌍대 코드보다 최소 무게가 더 큰 코드가 있기 때문이다. 하지만 대부분의 포멀리 자기 쌍대 코드에 관한 연구는 Z_(2)에서만 이루어졌다. 본 논문에서는 Z_(4) 위에서 포멀리 자기 쌍대 코드를 만드는 방법을 제시한다. MacWilliams identity를 이용하여 길이가 n과 n+2인 포멀리 자기 쌍대 코드의 Lee 무게 열거자의 관계를 증명한다. 그리고 포멀리 자기 쌍대 코드를 길이가 n에서 n+2로 확장할 수 있는 구체적인 방법을 제시한다. 우선 길이가 2인 모든 포멀리 자기 쌍대 코드를 찾고, 우리의 방법과 Magma를 이용해서 길이가 12인 포멀리 자기 쌍대 코드까지 확장시킨다. 우리가 찾은 모든 포멀리 자기 쌍대 코드의 Lee 무게 열거자도 제공한다. 그레이 함수를 이용하여 길이가 4와 8인 Z_(2) 위에서의 포멀리 자기 쌍대 코드를 찾는다.