중등 수학 교사의 수학적 지식의 교수학적 변환에 관한 연구

Abstract

교사는 학생의 배움에 그 누구보다 큰 영향을 주는 존재이다. 강력한 교육적 의도를 품고 매 수업 시간마다 자신이 가르치고자 하는 지식이 무엇인지 파악하고 그것을 어떤 방식으로 가르칠 것인지 계획하는 교육의 주체이다. 그런데 교사가 학생에게 ‘가르친 지식’은 과연 본래의 학문적 지식이 갖고 있던 의미를 완전무결하게 잘 보존하고 있는 것일까? 또, 과연 교사로부터 학생에게 전달되는 지식은 교사의 의도와 계획대로 온전히 전달되고 있는 것일까? 본 논문에서는 4명의 중등 수학 교사를 대상으로 그들이 교육과정과 교과서를 기반으로 수업을 계획하면서 선언한 가르칠 지식과 수업을 통해 실제로 가르친 지식을 비교 분석함으로써 중등 수학 교사의 수학적 지식의 내적 교수학적 변환과 외적 교수학적 변환에 대한 특성을 살펴보고자 하였다. 또한 이를 바탕으로 교사들이 이러한 교수학적 변환을 하게 된 요인들을 찾아냄으로써 교수학적 변환에 영향을 끼친 각 교사의 교수학적 누스페어를 밝히고 더 나아가 이들 교사의 수학적 지식에 대한 교수학적 변환을 도식화한 후 이에 대한 시사점을 찾아보았다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다. 1.교수학적 변환의 관점에서 교사의 수학적 지식에 대한 교수학적 변환은 어떻게 이루어지는가? 2.교수학적 변환의 관점에서 교사 유형별 교수학적 변환의 특성은 어떻게 나타나는가? 두 가지 연구문제의 결과를 얻기 위해 본 논문에서는 중학교 2학년 ‘삼각형의 성질’ 단원에서 외심에 대한 개념을 다루는 수업을 하는 중학교 수학 교사 중에서 교육적 성향과 교육 경력으로 구분하여 4명을 선정하였고 이들에 대한 사전 면담, 수업, 사후 면담 및 심층 면담을 통해 자료를 수집하였다. 또, 이 자료들을 대상으로 교수학적 변환의 관점에서 중등 수학 교사의 수학적 지식의 교수학적 변환을 분석하였으며 이를 토대로 중등 수학 교사의 수학적 지식에 대한 교수학적 변환의 도식을 제시하였다. 본 연구의 결과를 연구문제의 순서에 따라 정리하면 다음과 같다. 먼저 연구문제 1에 대한 결과로서 ‘지식의 선언’의 차원에서의 특성이다. 첫째, 교수 순서의 흐름에 따라 가르칠 수학적 개념에 대한 정의가 정해졌다. 둘째, 교육과정이나 교과서에서 가르칠 지식으로 선언하였더라도 교사가 중요하다고 생각하는 수학적 개념만이 실제로 가르쳐졌다. 셋째, 교사가 선택한 활동에 따라 다루는 수학적 개념과 매개 수학적 개념이 달라졌다. 다음은 ‘환경의 재조성’의 관점에서 관찰된 특성이다. 첫째, 교사가 중요하게 생각하는 환경의 재조성 방식에 따라 도입 활동이 결정되었다. 둘째, 수학적 개념을 설명하기 위한 도입 활동에 따라 교수 순서의 흐름이 정해졌다. 셋째, 교사가 중요하게 생각하는 환경의 재조성 방식에 대한 교수 시간 배당이 컸다. 넷째, 학생들의 수학에 대한 흥미를 높이고 수업에 대한 참여를 유도하기 위해, 연역적 추론에 의한 엄밀한 증명보다는 학생들이 직접 하는 조작적 활동에 대한 환경의 재조성이 많았다. 다음은 수학적 지식의 교수학적 변환 시 교사에게 영향을 준 요인에 대한 것이다. 포괄적 누스페어의 차원에서는 의사 주도적 영역의 8가지 요인, 주도적 영역의 11가지 요인이 추출되었고 국소적 누스페어의 차원에서는 의사 주도적 영역의 8가지 요인, 주도적 영역의 7가지 요인을 추출할 수 있었다. 연구문제 2의 결과로서 교수학적 변환의 관점에서 나타난 교사 유형별 교수학적 변환의 특성이다. 먼저, 4명의 수학 교사에 대한 공통적인 특성은 다음과 같다. 첫째, 4명의 수학 교사의 수업 경로의 공통점을 살펴보면, 외심의 유일성에 대해서는 연역적 추론을 통한 엄밀한 증명을 명확히 가르치는 것을 생략했다. 둘째, 외심의 존재성에 대해 가르치고 난 후에는 이어서 선분의 길이에 대한 외심의 성질을 가르쳤다. 셋째, 각 교사가 수업에서 가장 강조하며 가르친 개념에서 여러 차례 반복된 수업 경로가 관찰되었다. 다음으로 전통적 수업 성향을 가진 교사(B교사, D교사)와 비전통적 수업 성향을 가진 교사(A교사, C교사)로 구분하여 그 특성을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 전통적 수업 성향을 가진 교사는 외심의 존재성으로 시작해 가르친 반면 비전통적 수업 성향을 가진 교사는 외심의 존재성보다는 외접원의 존재성과 관련된 수업의 과제를 구성하였다. 둘째, 외심의 정의에 대하여 전통적 수업 성향을 가진 교사는 구성에 초점을 맞춘 정의를 따르는 반면, 비전통적 수업 성향을 가진 교사는 의미에 초점을 맞춘 정의를 따르고 있었다. 셋째, 전통적 성향의 교사는 수학 공식을 유도하면 과정의 설명 없이 공식을 바로 이용해서 답을 제시해도 상관없다는 태도를 갖고 있는 반면, 비전통적 성향의 교사는 수학 공식을 유도했더라도 그 과정이 중요하기에 과정 없이 바로 공식을 적용하는 것은 바람직하지 않다는 태도를 갖고 있었다. 다음으로 교육 경력에 따른 교사별 특성을 살펴보기로 하자. 초임 교사(A교사, B교사)와 경력 교사(C교사, D교사)로 구분하여 그 특성을 정리해 보면 다음과 같다. 첫째, 5년 미만에 해당되는 초임 교사(심상길, 2013)의 경우 수업 경로가 복잡하고 그 순서의 변화가 많은 반면, 5년 이상에 해당되는 경력 교사의 경우는 비교적 단순하였다. 둘째, 초임 교사의 경우 고지식할 정도로 미리 구성한 환경을 유지하려고 한 반면, 경력 교사의 경우 환경의 변화에 따라 새롭게 탄력적으로 재구성하였다. 셋째, 초임 교사의 경우 해당 학년의 내용만을 충실하게 가르치고 교과서의 내용을 그대로 표현하려고 노력하려는 반면, 경력 교사의 경우는 선행 학습이나 후행 학습에 대한 연계 내용을 통해 학년 간 내용의 연계성을 많이 가르쳤다. 넷째, 경력 교사는 수업에서 하나의 수학적 개념 다음에 이어지는 수학적 개념에 대해 수업의 흐름에서의 개연성을 염두에 두고 교수학적 변환을 꾀함으로써 그 연결이 자연스러우나 초임 교사의 경우는 교과서에서 가르칠 지식으로 선언한 수학적 개념을 가르치고는 있으나 수업의 흐름에 있어서 그러한 개념을 가르치는 연결성이 상대적으로 부족했다. 본 연구의 결과를 바탕으로 중등 수학 교사의 수학적 지식의 교수학적 변환은 다음과 같이 정리될 수 있다. 중등 수학 교사의 수학적 지식의 교수학적 변환은 포괄적 누스페어에서 국소적 누스페어로부터의 외적 교수학적 변환으로 먼저 시작된다고 볼 수 있다. 하지만 실제로 교사가 수업을 계획하는 단계에서 자신의 외적 교수학적 변환에 대한 자각은 거의 불가능하다. 교사가 자각을 할 뿐 아니라 주도적으로 이루어나가는 교수학적 변환은 교과서와 교사용 지도서를 기반으로 한 내적 교수학적 변환의 단계이다. 이러한 내적 교수학적 변환은 지식의 선언과 환경의 재조성이라는 두 가지 축으로 이루어지는데 이 두 가지는 별개의 것이 아니라 서로 영향을 주면서 어우러지고 이로 인해 수학적 지식의 교수학적 변환의 여러 가지 방식이 결정된다. 먼저 가르칠 지식으로서 수학적 개념을 선언하고 그 수학적 개념을 가르치기 위해 그 수업에서의 주요한 도입 활동을 결정한다. 이 도입 활동을 어떠한 것으로 선택하느냐에 따라 수학적 개념과 관련된 매개 수학적 개념이 달라질 수 있으며 이러한 일련의 과정으로 인해 수학적 개념의 정의도 변경될 수 있다. 교육과정이나 교과서의 해당 단원에서는 가르칠 수학적 개념으로서 선언하지 않았던 수학적 개념이라도 교사의 교육적 성향에 따라서는 수학적 개념으로 선언되어 가르쳐질 수 있다. 이러한 결과는 해당 수업에 임할 무렵 교사 개인만의 의사결정이라기보다는 그 교사의 교수학적 누스페어로부터 비롯된 것이다. 이와 같이 교사의 교육적 성향과 교육 경력에 따라 가르칠 수학적 개념이 선언되고 환경의 재조성이 구성될 뿐 아니라 실제 수업의 가르친 수학적 개념에 대한 교수 순서 및 교수 시간의 배당이 결정된다. 이러한 일련의 과정을 거쳐 수학 교사의 수학적 지식에 대한 교수학적 변환이 일어나게 된다. 수학 교사의 수학적 지식에 대한 교수학적 변환은 단순히 교사 개인이 가진 요인에 의한 것이라기보다는 그 교사의 포괄적 누스페어와 국소적 누스페어로부터 비롯되어 축적하게 된 교사의 목표, 자원, 지향 등에 의해 영향을 받은 것임을 이 연구를 통해 밝히고자 하였다.;Not just as an influencer to student learners, but as a major educational player with strong educational purposes, a teacher should understand what kind of knowledge he/she will teach and how he/she will deliver it to students. However, does the “taught knowledge” maintain the original scholarly knowledge? And is the “taught knowledge” communicated to the students as intended and planned by the teacher? This paper is intended to look into the attributes of internal or external didactic transposition of mathematical teaching method of middle school teachers by comparing and analyzing planned and pre-declared knowledge to be taught and actual taught knowledge in class, four mathematics teachers participating. Also, by analyzing base factors creating the transposition, the didactic noosphere affecting these didactic transposition of each teacher has been identified and the didactic transposition of middle school mathematics teachers has been schematized based on this. The subjects of this paper are as follows: 1.From the viewpoints of the didactic transposition, in what ways is the transposition of mathematical knowledge of teachers created? 2.From the viewpoints of the didactic transposition, in what ways are the teacher attributes of the didactic transposition presented by teacher type? For these two subjects, four mathematics teachers teaching second graders in middle schools have been invited. They teach the concept of a circumcenter from the units for properties of triangles. They represent four categories respectively, divided by teaching career and educational inclination. Data have been collected and analyzed through pre-interviews, instructional videos, post-interviews and in-depth discussions. Each teacher’s didactic transposition of mathematical knowledge has been analyzed and a schematized didactic transposition of mathematical knowledge of middle school mathematics teachers has been presented. The outcomes of this study are put in the order of subjects as follows: Most of all, as the results of subject 1, attributes are created from the dimension of “the declaration of knowledge” First, definitions of mathematical concepts to be taught are decided by the flow of teaching order. Second, the teacher actually teaches mathematical concepts which he/she thinks are important regardless of the declaration in the given curriculum or text books. Third, the contents of the paramathematical concepts are varied following activities of teachers’ choice. Next are the attributes observed from the viewpoints of “the restructuring of educational environment.” First, class introduction activities are varied according to the methods of didactic transposition which the teacher thinks are important. Second, the flow of teaching order is decided by the teacher’s choice of introduction activities to teach mathematical concepts. Third, the teacher allocates more teaching time to the methods of didactic transposition that he/she thinks are more important. Fourth, there are more methods of didactic transposition in the students’ own operational activities than in the demonstration activities, in order to encourage students’ active class participation and promote their interest in mathematics. The following is about conditions affecting teachers in the didactic transposition of mathematical knowledge. 8 conditions of the intention-driven area and 11 conditions of the leading area have been extracted in the inclusive noosphere dimension, and 8 conditions of the intention-driven area and 7 conditions of the leading area have been extracted in the local noosphere dimension. Shown as the results of subject 2, teacher attributes of the didactic transposition divided by educational inclination or teaching career are as follows: They have three common points in teaching. First, all the four teachers didn't teach the uniqueness of a circumcenter through logical proof. Second, they taught the existence of a circumcenter first and length of segment came next. Third, arrows are concentrated on the concepts teachers have taught emphatically through class path. Teacher attributes divided by educational inclination are as follows: First, teachers with relatively conventional inclination began class with the existence of a circumcenter, while unconventional teachers structured class tasks related to the existence of a circumcircle. Second, about the definition of a circumcenter, conventional teachers followed definitions focused on the composition, while unconventional teachers adopted definitions focused on the meaning. Third, teachers with conventional inclination show an attitude that once formulas induced, it does not matter to directly present an answer utilizing the formulas without explaining the process. On the other hand, unconventional teachers have an attitude that even with the formulas induced, it is not desirable to directly apply them without the process because the process itself as well as the answer is also very important. And teacher attributes divided by teaching career are as follows: First, beginning teachers with under 5 year career have complicated class path and variegated teaching order whereas teachers with over 5 year experience have relatively simple path. Second, beginning teachers tend to keep the pre-structured teaching environment, sometimes too seriously, while experienced teachers flexibly restructure the environment if any changes needed. Third, beginning teachers stick to the given curriculum for the second graders and try to deliver the contents of the text books as they are, while experienced teachers try to relate and teach inter-grade contents through prerequisite and following learning. Fourth, experienced teachers pursue the transposition bearing the possibility of connected mathematical concepts in mind, thereby achieving justification of the connection, while beginning teachers teach what should be taught just in the text books, with insufficient justification to teach those concepts. Based on the results of the study, the didactic transposition of mathematical knowledge of middle school mathematics teachers can be summarized as follows: The didactic transposition of mathematical knowledge of middle school mathematics teachers starts as an external transposition from inclusive noosphere to local noosphere. However, the teacher does not recognize the external didactic transposition in the actual class planning phase. It is in the working of internal didactic transposition that the teacher leads the tangible transposition. This internal didactic transposition consists of two axes, which are "the declaration of knowledge” and “the restructuring of educational environment”, not separated but harmonized affecting each other, thereby deciding many sides of the didactic transposition of mathematical knowledge. First of all, mathematical concepts to be taught as knowledge are declared, followed by selecting major introduction activities to teach the concepts. Paramathematical concepts related to these concepts can undergo a change depending on the chosen activities and the definitions of the mathematical concepts can become more specific from the process. Depending on the teacher's educational inclination, even undeclared paramathematical concepts in the curriculum or in the units of a textbook can be taught in class, declared as mathematical concepts. It is easily identifiable that all this is from the teacher's didactic noosphere. Like this, the teacher's educational inclination and teaching career declare mathematical concepts and the paramathematical concepts to be taught, and restructure the teaching environment. Order and time allocation to teach the mathematical concepts in class are decided as well. This serial process leads to the didactic transposition of mathematical knowledge of mathematics teachers. This study tries to reveal that the didactic transposition of mathematical knowledge of mathematics teachers is not affected by individual conditions of a teacher but by his or her local and inclusive noospheres such as thinking about mathematics, teaching goals, resources and educational inclination, etc.