(2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀에 대한 뒤틀림 곱 측면에서의 분석

Abstract

(2+1) 차원의 확장된 Banados-Teitelboim-Zanelli(BTZ) 블랙홀은 세 사람이 2차원의 공간상에 고안한 가상 모델이지만, 그 성질에 있어서 중요한 의미를 가진다. (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀은 (3+1) 차원의 블랙홀과 물리적 성질이 유사하기 때문에 굉장히 매력적인 연구 주제이다. BTZ 블랙홀은 질량, 각운동량 그리고 전하에 의해 성질이 결정된다. 이때, 정적인 BTZ 블랙홀, 회전하는 BTZ 블랙홀 그리고 하전된 (또는 전하를 가진) BTZ 블랙홀 모두를 포함하는 것이 확장된 BTZ 블랙홀이다. 이 논문에서는 정적인 BTZ 블랙홀과 회전하는 BTZ 블랙홀에 대해 연구할 것이다. 또한 (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀은 스칼라-텐서(scalar-tensor) 이론을 설명하도록 발전해왔기 때문에, 스칼라-텐서 이론과 관련된 다양체를 연구할 것이다. 이 논문에서는, 뒤틀림 곱(warp product) 방식을 이용하여 BTZ 블랙홀의 내부에 대해 알아보고자 한다. 뒤틀림 곱은 음의 곡률 값을 갖는 시공간에 대해 그 블랙홀의 해를 찾을 수 있는 연구 방법이다. 그러므로 (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀의 내부해 및 (2+1) 차원의 드 시터(de Sitter) 블랙홀의 외부해 등에 적용할 수 있다. (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀의 메트릭(metric) 및 lapse function을 뒤틀림 곱에 맞게 수정하여 블랙홀의 내부해를 구한다. 뒤틀림 곱을 이용하여 얻은 다중 뒤틀림 곱 다양체(multiply warped product manifold)를 형태에 따라 나누어 분석한다. 각각 과 에 비례하는 Ⅰ형과 Ⅱ형으로 나눈 후, 정적인 BTZ 블랙홀의 경우와 회전하는 BTZ 블랙홀의 경우로 세부 분할하여 연구할 것이다. 회전하는 BTZ 블랙홀의 경우 동행 좌표(comoving coordinates)를 이용하여 보다 쉽게 문제에 접근할 수 있다. 뒤틀림 곱에서 새로운 좌표 를 도입하여 수정한 뒤틀림 함수의 해를 구하기 위해서는 각각 3차 방정식과 4차 방정식을 풀어야 한다. 이에 대해서는 <부록 1> 및 <부록 2>에서 자세히 풀이한다. 최종적으로는 다중 뒤틀림 곱 과 형태를 이용하여 (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀 내부의 리치 곡률 성분과 아인슈타인 스칼라 곡률을 구한다. 리치 곡률 성분을 과 의 형태로 표현하게 되면 같은 성질의 블랙홀에 대해 lapse function으로만 분석하여 바로 리치 곡률 성분을 구해낼 수 있다. 나아가 구해낸 곡률의 값들을 통하여, 아인슈타인 스칼라 곡률은 (2+1) 차원의 확장된 BTZ 블랙홀의 불연속성에도 불구하고, 사건 지평선 내부와 외부에서 동일한 값을 가지는 것을 알 수 있다.; (2+1) dimensional extended Banados-Teitelboim-Zanelli(BTZ) black hole is a toy model proposed by Banados, Teitelboim and Zanelli, but is important in its properties. Because (2+1) dimensional extended BTZ black hole is similar to (3+1) dimensional black hole in physical properties, it is interesting subject for research. The properties of BTZ black hole are determined by mass, angular momentum and charge. Extended BTZ black hole includes static, rotating and charged BTZ black hole. This paper will study static BTZ black hole and rotating BTZ black hole. (2+1) dimensional extended BTZ black hole has been developed to describe the scalar-tensor theories so that we will study manifold related with scalar-tensor theory. In this paper, we are going to study about inside of the BTZ black hole by using the method of warp product. The Warp product is a way in which we can find the solution of the black hole in regard to the spacetime with negative curvature. Hence, it can be applied to the interior solution of (2+1) dimensional extended BTZ black hole and exterior solution of (2+1) dimensional de Sitter black hole. Using the modified metric and lapse function of the black hole in warp product, we will compute the interior solution of the black hole. Divided cases by the form of the multiply warped product manifold obtained by the warp product are analyzed. After Dividing each case into type-Ⅰ and type-Ⅱ containing the terms proportional to and , respectively, we will study in detail by dividing into the static BTZ black hole and rotating BTZ black hole. In the case of the rotating BTZ black hole, it can be much easier to access to the problem by using the comoving coordinates. In order to obtain the solution of the warping function modified by introducing new coordinates in the warp product, we have to solve a cubic equation and quartic equation. This will be solved more specifically in <Appendix 1> and <Appendix 2>. Finally, by using the and in warp product, we will obtain the Ricci curvature and Einstein scalar curvature inside the (2+1) dimensional extended BTZ black hole. Ricci curvature components represented in the form of and can be obtained easily by analyzing only the lapse function of the black hole in same properties. Moreover in regards to the values of curvatures that we have found, Einstein scalar curvatures are identical both in the exterior and interior of the outer event horizons despite the discontinuities of these (2+1) dimensional extended BTZ black holes.