다양한 표상활동 중심 분수학습에서의 관계적 이해, 분수 이해력 및 수학적 태도에 관한 연구

Abstract

A goal of mathematics education is to bring up the mathematical thinking skills, communication skills, and the positive attitude about mathematics. However, in the actual school field, students who memorize mathematical formula to solve problems in mathematics are readily found and mathematics class emphasize procedural functions and calculation methods rather than understanding. Students have difficulties in understanding concepts and principles of mathematics because they repeatedly learn only formal calculation algorithms and problem solving methods. According to the international comparative studies such as TIMSS and PISA, the Korean students record very low score in mathematical attitudes. Therefore, Bruner's EIS theory, which is asserted that step-by-step teaching and learning along with a recognition path are required, was applied to improve these presented problems. The purpose of this study is set as follows. Considering the development level of students, let they experience the meaning of concepts through their own operations. And let they perform activities to control abstract mathematical symbols to heighten their understanding and give positive influences on mathematical attitudes. For the purpose of the study, the problems of the study are set as follows. First, how are students' relational understandings in the fraction learning centered on various representation activities? Second, how are students' fraction understandings in the fraction learning centered on various representation activities? Third, how are students' mathematical attitudes in the fraction learning centered on various representation activities? To solve the problems of the study, two 4th grade classes of B elementary school in Seoul were selected. In the study, 15 fraction learning classes comprising enactive, iconic, and symbolic representations took place over 6 weeks. The influences on the students' relational understanding, fraction understanding, and attitudes toward mathematics the fraction learning centered on various representation activities were analyzed. The analysis results of the study are summarized as follows. First, the first result is about the students' relational understandings in the fraction learning centered on various representation activities. In 11 of the 15 fraction learning classes, 80% or more students achieved relational understanding. Dividing the classes into three parts consisting of understanding of fractions, summation of fractions, and deduction of fractions, the ratio of the students who achieved relational understanding increased as the classes progressed. The ratio of the students who achieved relational understanding was analyzed depending on the level of mathematics achievement. And the analyzed result shows that difference between good students and poor students becomes smaller. That is, the fraction learning centered on various representation activities is effective to enhance the relational understanding of good students as well as poor students. Second, the second result is about the students' fraction understandings in the fraction learning centered on various representation activities. The questions of three fraction understanding tests were comprised of 30% high level, 40% mid level, and 30% low level questions. On the results of the tests, the students recorded 90 pt or more on average. Therefore, the understanding of fraction were improved as the classes progressed. Also, the gap between the upper level and lower level students decreases. Third, two-dependent samples t-test was conducted to analyze there was a significant difference in mathematical attitudes between pre-test and post-test. On the test result, there was the meaningful difference with 0.01 level of significance. All 6 sub factors in the post mathematics attitude test shows there were positive transformations, irrespective of mathematics learning ability. Specially, low level students show the biggest transformations. Fears, interests, learning orientation, self-control and self-confidence, and value cognition is recognized in order of change. That is, fears among 6 sub factors are improved significantly while all 6 sub factors are improved. To conclude, the fraction learning centered on various representation activities improves students' relational understanding and fraction understanding. Also, the fraction learning increases learning orientation, self-control, interests, value cognition, and self-confidence of the students and decreases fears of the students. So it gives positive influences on mathematical attitudes. Several suggestions based on the results of the study are proposed as follows. First, the fraction learning centered on various representation activities for the upper class should be developed. Because many students seem to have misconception in multiplying and dividing of fractions. Second, various activities including specific operation for each grade or area and connection between abstract symbols should be designed to improve understanding. Third, further researches about teaching methods and learning methods except the learning centered on various representation activities should be performed. Fourth, with focusing on variations of relational understanding, the qualitative study of analyzing between the relational understanding and the understanding of fraction can be performed. Lastly, various mathematical materials for handling mathematics concepts and principles should be developed and applied.;수학 교육이 추구하는 목표는 수학적 사고 능력, 의사소통 능력의 신장 및 수학에 대한 긍정적인 태도를 길러주는 것이다. 하지만 실제 학교 현장에서는 단순히 공식을 외워 문제를 해결하는 학생들을 쉽게 찾아볼 수 있으며, 수학 수업 중 많은 부분이 이해보다 절차적 기능과 계산 측면을 강조하고 있다(김선영, 2003; 유현주, 1995; 조병윤, 1992; 추은영, 2003; Post, Behr & Lesh, 1982). 형식적인 계산 알고리즘과 기호로 표상된 반복적인 문제풀이를 통한 학습이 이루어지고 있어 학생들은 개념․원리를 이해하는데 어려움을 겪고 있으며, 학업성취도 국제비교연구 TIMSS(Trends in International Mathematics and Science Study)와 PISA(Program for International Students Assessment)의 결과처럼 정의적 영역은 매우 낮은 수준에 있다. 이에 학교 현장에서 제시되는 문제점들을 개선하기 위해 인지경로에 따른 단계적인 교수·학습의 필요성을 주장한 Bruner의 EIS이론을 적용하였다. 학생들의 발달수준을 고려하여 직접적인 조작활동을 통해 개념의 의미를 체험해보고, 궁극적으로 도달해야 할 추상적인 수학적 기호를 다루기까지의 활동을 연계하여 학생들의 이해를 높이고 수학적 태도에 긍정적인 영향을 미치는데 본 연구의 목적이 있다. 본 연구의 목적을 위해 설정한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 다양한 표상활동을 중심으로 한 분수학습에서 나타난 학생들의 관계적 이해는 어떠한가? 둘째, 다양한 표상활동을 중심으로 한 분수학습에서 나타난 학생들의 분수 이해력은 어떠한가? 셋째, 다양한 표상활동을 중심으로 한 분수학습에서 나타난 학생들의 수학적 태도는 어떠한가? 이러한 연구문제를 해결하기 위해 서울시 B초등학교 4학년 2개 학급을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 본 연구는 활동적, 영상적, 상징적 표상활동으로 이루어진 분수학습이 6주간 15차시에 걸쳐 이루어졌다. 다양한 표상활동 중심의 분수학습이 학생들의 관계적 이해와 분수 이해력, 수학적 태도에 미치는 영향을 분석하였다. 본 연구의 분석결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 다양한 표상활동 중심 분수학습에서 나타난 학생들의 관계적 이해를 살펴본 결과 15차시 중 11차시에서 80%이상의 학생들이 관계적 이해에 도달하였다. 15차시 수업 중 분수의 개념, 분수의 덧셈, 분수의 뺄셈 세 파트로 구분지어 변화를 살펴본 결과로는, 수업이 진행될수록 관계적 이해에 도달한 학생들의 비율이 증가함을 알 수 있었다. 수학학업성취도의 상, 하수준에 따른 관계적 이해의 변화를 살펴본 결과, 상수준과 하수준 학생 모두 다양한 표상활동 중심의 분수학습이 진행될수록 관계적 이해도가 상승하였으며, 상수준에 비해 하수준의 변화가 더 크게 나타났다. 또한 상수준과 하수준 간 관계적 이해 평균 차이가 줄어드는 것을 확인할 수 있었다. 둘째, 다양한 표상활동 중심 분수학습을 통해 분수 이해력 변화를 보고자 하였던 두 번째 연구문제에 대한 결과는 다음과 같다. 상중하 수준으로 출제한 분수 이해력 검사를 세 차례에 걸쳐 실시한 결과, 분수 이해력 검사 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ에서 평균 90점 가까이 또는 그 이상의 높은 성취도를 보였다. 학습내용 난이도로 비교해 보았을 때는 분수 개념이해 내용이 가장 쉽고, 분수의 뺄셈이 가장 어려운 영역임을 감안해 보았을 때, 학습난이도가 쉬운 분수 개념이해보다 분수의 덧셈, 뺄셈을 평가한 검사 결과가 높은 것으로 보아, 수업을 진행할수록 학생들이 분수에 대한 이해력이 증가됨을 알 수 있다. 분수 이해력 검사결과를 상수준과 하수준으로 구분하여 분석한 결과, 수준간 차이도 줄어들었다. 셋째, 수학적 태도 변화를 알아보기 위해서 두 종속표본 t검정을 실시한 결과, 유의수준 .01에서 통계적으로 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 이는 다양한 표상활동 중심의 학습이 수학적 태도에 긍정적인 영향을 주었다고 보여진다. 학습수준에 관계없이 사전보다 사후에 실시한 수학적 태도 검사에서 6가지 하위요인 모두 긍정적인 변화가 있었으며, 수준별로 보았을 때는 하수준의 학생들이 가장 큰 변화를 보였다. 수학적 태도를 구성하는 하위요인별 사전․사후 검사에서 차이를 보인 영역을 분석해 본 결과 불안감, 흥미, 학습지향성, 자기통제 및 자신감, 가치인식 순이었다. 수학적 태도 사후 검사에서 모든 영역이 향상되었는데, 특히 수학에 대한 불안감을 낮추는데 매우 효과적이었다고 보여진다. 결론적으로 다양한 표상활동 중심의 분수학습은 학생들의 관계적 이해도와 분수 이해력을 향상시키고, 학생들의 학습지향성, 자기통제, 흥미, 가치인식, 자신감을 높이며, 불안감을 감소시키는 등의 수학적 태도면에서도 긍정적 영향을 미쳤다고 할 수 있다. 이와 같은 본 연구의 결과를 토대로 제언하자면 첫째, 많은 학생들이 분수의 곱셈, 나눗셈에서 오개념을 가지고 오류를 보이는 경우가 많으므로 고학년 분수학습에 적용할 수 있는 다양한 표상활동 프로그램이 개발될 필요가 있다. 둘째, 분수학습 외에도 학년별, 영역별로 구체적인 조작활동과 추상적 기호 간의 연계를 통해 개념․원리에 대한 이해를 높일 수 있는 다양한 활동들이 고안되어야 한다. 셋째, 다양한 표상활동을 중심으로 한 수업 외에 관계적 이해를 높일 수 있는 교수․학습 방법에 대한 추후 연구가 필요하다. 넷째, 관계적 이해에 대한 변화 추이에 초점을 두어 분수 이해력과의 관련성을 분석하는 질적 연구가 이루어질 수 있을 것이다. 마지막으로 수학적 개념이나 원리를 직접 다루어 볼 수 있는 수학 교구를 다양하게 개발하고 적용해보는 노력이 이루어져야 할 것이다.