Isoparametric Function on Quaternionic Vector Spaces

Abstract

An isoparametric hypersurface in a sphere which is a hypersurface with constant principal curvatures, can have only g = 1, 2, 3, 4 or 6 distinct principal curvatures and the classification of g = 4 and 6 cases still remain open. In this paper, we consider a S^3 and U(n + 1) invariant homogeneous function of degree four in S^{4n+3} and show it is an isoparametric function providing a new result of isoparametric hypersurface of g = 4 distinct principal curvatures. Our result extends K. Nomizu's work [11].;구 안의 초곡면이 상수의 주곡률을 가질 때 이를 isoparametric 초곡면이라 부르고, 이 때 서로 다른 주곡률의 수 g 는 g=1, 2, 3, 4 또는 6 만이 가능하다는 것이 알려져 있다. 그러나 g=4, 6 인 경우에 관한 분류는 아직까지 완성되지 않은 상태이다. 본 논문에서는 S^{4n+3} 안의 S^3, U(n+1) 작용에 의해 불변인 4차 동차함수를 찾고, 이것이 g=4 인 경우의 isoparametric 초곡면에 대한 새로운 결과를 주는 isoparametric 함수임을 보인다. 이는 K. Nomizu [11] 결과의 확장이다.