고등학교 2학년 미분 단원에서 교사에게 필요한 수학적 지식에 관한 연구

Abstract

The purpose of the study was to investigate Mathematical Knowledge for Teaching(MKT) in differentiation of second grade at high school. By the revision of the 7th curriculum, high school students in the social and human curriculum have to study differentiation by the textbook called 'Differential and Integral Calculus and Statistics'. Hence there is a reason to investigate the analytic frame of measuring Mathematical Knowledge for Teaching(MKT) in differentiation. Through the survey of the precedent studies about students' understanding of differentiation, investigation and analysis was done of the teachers' knowledge. The questions of the survey were made by reckoning with teachers' situation and referring the questions in the precedent studies. The objects of the study are as follows: First, what are the aspects of teachers' MKT in differentiation? Second, is there any relationship between the subdomains of the teachers' MKT and the teachers' general characters such as gender, assigned grade, age and career? To investigate the teachers' MKT in differentiation, a survey was done on 36 high school teachers. Data were processed by SPSS win 12.0. Following the objects of the study, frequency analysis, crosstab analysis and (Chi-square) test were performed. The results through the analysis are as the follows: First problem was to analyse the total sum of MKT. According to the descriptive analysis of the survey, the lowest score was 11 and the highest score was 23, the mean score was 18.61, and standard deviation was 3.192. To find if there is any relationship between the total sum of the teachers's MKT and the teachers' general characters such as gender, assigned grade, age and career, the crosstab analysis and test were done. But the significance test of the teachers' general characters and total score of the MKT was not meaningful. Second problem was to investigate the subdomains of MKT; Subject Matter Knowledge(SMK), Knowledge of Contents and Students(KCS), and Knowledge of Contents and Teaching(KCT). According to the descriptive analysis of the survey, the mean score of SMK was 12.97, the mean score of KCS was 2.94, and the mean score of KCT was 4.14. And to find if there is any relationship between the subdomains of the teachers' MKT and the teachers' general characters such as gender, assigned grade, age and career, the crosstab analysis and (Chi-square) test was performed. But no significant result was found. This study was performed to consider the teacher as a variable in the differentiation, but no significant result was found. As a result of this study, Mathematical Knowledge for Teaching(MKT) in differentiation has high correlation with three subdomains of MKT, such as Subject Matter Knowledge(SMK), Knowledge of Contents and Students(KCS), and Knowledge of Contents and Teaching(KCT).;본 연구는 고등학교 2학년 미분 단원에 대해 실제 교육 현장에서 활동하고 있는 교사들이 어떤 수학적 지식을 가지고 있는지에 대해 알아보는 데 목적이 있다. 개정 7차 교육과정부터 고등학교 인문사회 과정 학생들도 ‘미적분과 통계 기본’교과서를 통해 미분에 대해 학습하게 된다. 따라서 미적 분 학 을 가르치는 교사의 수학적 지식은 어떠한지 또한 그러한 교사의 수학적 지식은 옳은 것인지에 대해 측정할 수 있는 객관적인 분석틀이 필요하다. 따라서 본 연구에서는 선행 연구를 분석하여 미분 단원의 오 개념과 오류에 관한 내용 요소 별 분석틀을 구성하여 각각에 대한 교사의 지식에 대해 조사 및 분석하였다. 설문문항은 교육과정의 실행자이자 교실 수업의 주체로서의 교사의 지식의 중요성을 감안하되 여러 가지 현실적인 여건을 고려하여 작성하였고, 사전에 이루어진 여러 연구에서 사용된 활동 지 및 설문지를 참고하였다. 본 연구에서 설정한 연구문제는 다음과 같다. 1. 수학 교사들의 고등학교 미분 단원에서 MKT의 총점과 일반적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 교직경력)과는 어떤 관계가 있는가? 2. 수학 교사들의 고등학교 미분 단원에서 MKT의 각 하위 영역과 일반적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 교직경력)과는 어떤 관계가 있는가? 고등학교 현직 교사 36명을 대상으로 실시한 설문문항을 각 문항에 대해 맞으면 1점, 틀리면 0점으로 하여 총점을 계산하여 빈도분석을 실시하였고 SPSS 12.0을 사용하여 응답자의 일반적 특성과 관련하여 교차분석을 실시하였다. 또한 MKT의 각 하위 영역별 점수와 응답자의 일반적 특성과의 관계에 대해서도 교차분석을 실시하였다. 이와 같은 분석을 통한 결과는 다음과 같다. 연구문제 1은 MKT의 총점에 대한 분석이다. 이에 따라 MKT 총점에 대해 빈도분석을 실시, 전반적인 내용을 기술하였다. 또한 수학 교사 개인의 일반적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 교직경력)과 MKT 총점(26점) 간의 자세한 분포를 알아보기 위해 SPSS 12.0을 사용하여 교차분석을 실시하였다. 교사 36명의 응답 분석 결과 최저 11점, 최고 23점이었으며 평균은 18.61점, 표준편차는 3.192점이었다. MKT 총점에 대한 좀 더 자세한 분포를 알아보기 위해 응답한 수학 교사의 개인적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 교직경력)과의 Pearson 검정을 통한 교차 분석을 각각 실시하였다. 그러나 각 개인적 특성과 MKT 총점간의 집단 내 유의성 검정은 유의하지 않았다. 연구문제 2는 MKT의 각 하위 영역과 수학 교사의 일반적 특성 간의 관계를 알아보기 위한 것이다. 이에 따라 측정된 MKT의 세 하위 영역인 교과 내용 지식(SMK), 내용과 학생에 관한 지식(KCS), 내용과 교수에 관한 지식(KCT)별로 문항을 나누어 각 영역에 해당되는 문항들 간의 교차분석을 실시하였다. 교과 내용 지식(SMK)의 점수의 평균은 16점 만점에 12.97점으로 가장 높으며, 내용과 학생에 관한 지식(KCS)의 점수는 4점 만점에 평균 2.94점, 내용과 교수에 관한 지식(KCT)의 점수는 5점 만점에 평균은 4.14점이다. 각 하위 영역(즉, 교과 내용 지식(SMK)내용과 학생에 관한 지식(KCS)내용과 교수에 관한 지식(KCT))과 교사의 일반적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 그리고 교직경력)간의 교차분석을 실시하였지만 각 집단 별 유의성 검정 결과는 유의수준 0.05에서 유의미하지 않았다. 위의 결과에 대한 결론은 다음과 같다. 고등학교 2학년 미분 단원에 대한 수학 교사들의 MKT 총점은 23점 만점에 평균 점수가 18.61점, 표준편차는 3.192점인 만큼 우수하다. 연구의 설계 단계에서 가정했던 것처럼 수학 교사들이 현재 담당하고 있는 교과목이 아니라고 할지라도 학교 수학에 대해 전반적으로 높은 지식을 가지고 있다고 할 수 있다. 교과 내용 지식(SMK)의 영역의 점수는 총점 16점에 대해 만점을 얻은 교사가 전체 응답교사 32명 중에서 4명(11.1%)나 해당하는 결과로부터 교사들이 가지고 있는 SMK의 수준이 높다고 할 수 있다. 담당학년과의 교차분석 결과 3학년을 가르치는 교사들이 다른 학년을 가르치는 교사들에 비해 상대적으로 높은 점수를 기록한 경향이 있는 것으로 보이며 이것은 현재 가르치고 있는 교과 내용에 따라 SMK도 영향을 받는 것으로 보인다. 내용과 학생에 관한 지식(KCS) 영역 중 2번 문항의 결과로부터 수학 교사들은 학생들이 가지고 있는 오류 및 오 개념에 대한 생각을 알 수 있었다. 틀린 문장인 (1)~(3)번에 대해서는 의견이 분분한 것에 비해 옳은 문장인 (4)번에 대해서는 대부분의 교사들이 흔히 볼 수 있다고 대답하였다. 하지만 (1)~(3)번 역시 많은 학생들이 가지고 있는 오 개념 이므로 교사들이 학생들의 오류 및 오 개념에 대해 좀 더 관심을 가질 필요가 있다고 보인다. 내용과 교수에 관한 지식(KCT) 영역에 대해 통계적으로는 교사 개인의 일반적 특성(성별, 담당학년, 연령대, 교직경력)간의 유의미한 상관관계를 찾아보기는 어려웠다. 하지만 많은 수학 교사들이 미분 단원을 어떤 교수 방법으로 가르치는 것이 효과적이며 수업 내용을 어떤 식으로 배열해야 하는가에 대해 잘 알고 있다고 할 수 있다. 우리나라 중고등학교에서 가르치는 수학은 중학교 1학년부터 고등학교 3학년에 이르기까지 교과서의 종류가 다양하다. 또한 한 교과서 내에서도 ‘대수’, ‘해석학’, ‘기하’, ‘통계’ 등 다양한 내용이 섞여 있다. 이에 많은 수학 교사들이 한 교과만을 꾸준히 가르치고 싶어 하며 새 학기가 시작하기 전에는 현재 가르치는 교과 이외의 내용에 무관심하다. 본 연구의 설문의 진행이 어려웠던 가장 큰 이유가 응답자 수의 확보이었음을 볼 때 수학 교사들은 현재 자신들이 가르치지 않는 교과일지라도 그것에 대한 지식은 갖추고 있어야 할 것이다. 수학 교사는 교육과정에 제시된 학습목표에 따라 구성된 수학 교과서를 도구로 하여 수업을 한다. 이 때 교사는 교과서에 제시된 내용 그대로 수업하지 않고 교사 자신이 가지고 있는 수학적 지식 및 교육관에 입각하여 설명하며 학생들은 그 설명을 듣고 학습하고 학생 자신의 수학적 지식을 구성한다. 따라서 교사가 어떤 수학적 지식을 가지고 있는지, 그 수학적 지식은 옳은 것인지에 대해 알아보는 것이 필요하다. 본 연구는 교사의 수학적 지식(MKT)을 알아보기 위해 학습목표에 따라 설문 문항을 구성하고 Ball et al.(2008)에서 제시한 MKT의 하위 영역 분류에 따라 영역별로 구분하여 분석하였다. 이러한 구성 및 구분은 본 연구의 주제 단원인 고등학교 2학년에서의 ‘미분’에서뿐만 아니라 다른 학년 및 다른 단원에서의 MKT 연구에도 적용될 수 있을 것이다. 본 연구는 교사에게 필요한 수학적 지식(MKT)의 하위 영역 가운데 교과 내용 지식(SMK), 내용과 학생에 관한 지식(KCS), 내용과 교수에 관한 지식(KCT)의 세 영역만을 측정하였다. 따라서 다른 영역까지 아우를 수 있는 분석틀의 개발이 필요하다.