Study on Solving Discrete Logarithm Problem using Function Field Sieve

Abstract

In cryptography, the hardness of discrete logarithm problem (DLP) is closely related to security issues. Especially the mathematical hardness of DLP over finite fields is important since there is a reduction from DLP over elliptic curves (ECDLP) to DLP over finite fields and lots of current cryptosystems relies on the hardness of ECDLP. To investigate the security of DLP over finite fields, we study variations of the function field sieve (FFS) method which is a subexponential algorithm to solve DLP over finite fields. In this thesis, we focus on the FFS over finite fields with medium-sized base field. To observe the main differences among those variations, we review the classical FFS and organize it into four steps in an algorithmic form which allows us to compare the variations easily. With that, we reorganize the medium-sized variations and find the main differences which impact on the complexity.;암호학에서 이산대수문제(DLP)는 암호 시스템의 보안과 관련된 중요한 문제다. 타원곡선에서의 이산대수문제가 수학적으로 어렵다는 가정 하에 ECDSA 등 암호 시스템의 안전성이 보장된다. 유한체에서의 이산대수문제는 타원곡선에서의 이산대수문제보다 어렵다는 것이 pairing을 통해 증명되었기 때문에 유한체에서의 이산대수문제를 푸는 것 또한 중요한 주제라 할 수 있다. 유한체에서의 이산대수문제의 hardness를 알아보기 위해 우리는 subexponential 알고리즘인 function field sieve (FFS) 방법을 공부했다. 이 논문에서는 여러 조건 하의 FFS 방법들, 특히 medium-size의 유한체를 base field로 가지는 유한체에서의 FFS 방법들에 초점을 맞췄다. 각 알고리즘들의 주요한 변화와 그 의미를 알아보기 위해 먼저 우리는 초기 버전의 FFS를 review하고 네 가지 단계로 나누어 detail들을 살펴본 뒤 알고리즘 형태로 정리했다. 그 후 앞에서 조직한 네 단계를 이용하여 우리의 주된 목표인 FFS 알고리즘들을 살펴보고 어떤 단계가 complexity에 큰 영향을 미쳤는지 재정리했다.