이차함수에 대한 중학교 3학년 학생들의 오개념과 오개념 처치를 위한 교수방법 제안

Abstract

The purpose of this study is to provide teachers with what kind of the misconceptions students could have and why they have those misconceptions by analyzing. This study also aims at suggesting the teaching method to teachers who want to treat students' misconceptions. Subjects for this study are ten students who were in the 3rd grade of middle school in Gyeonggi-do. As a diagnostic assessment, the test sheet was given to each student to identify what kind of misconceptions the students have. Based on the result of the diagnostic assessment, the students were interviewed individually and asked why they have those misconceptions. From the result of the diagnostic assessment, fifteen misconceptions were found and categorized into eight: the equation of quadratic function, the shape of the graph, the width of the graph, vertices and axis of the graph, searching the range of , the symmetric transformation about -axis, the parallel translation, and maximum and minimum of the quadratic function. Students specified that they were affected by their daily lives, discordance between logarithmic expression and geometric expression, analogical reasoning, adaptation from qualities of linear function, inaccurate expressions from a teacher, and so on. The researcher also propose the teaching method that could have teachers treat misconceptions. To correct those misconceptions, four steps of questions were constructed for each misconception, based on the frame from established instructional model. The researcher tried to treat 4 frequent misconceptions among 15 extracted through research question1. In addition to 1 student who had complex misconception, misconceptions from all the other students were successfully treated. On the basis of above results, there are a few educational implications for teachers. Teachers should use appropriate and accurate expressions to prevent students from building misconceptions when they teach students linear and quadratic functions. Also, follow-up studies are necessary to develop learning models for treating misconceptions.;본 연구의 목적은 교사로 하여금 중학교 3학년 학생들이 이차함수에 대하여 가지고 있는 오개념을 미리 파악할 수 있도록 도움을 주고자 하는데 있다. 또한 오개념 처치를 위한 교수 방법을 제안하여 학생들의 오개념 처치를 위한 수업을 진행 하는 교사에게 도움을 제공하려고 한다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제1. 중학교 3학년 학생들이 이차함수에 대하여 가지고 있는 오개념과 그것의 형성 원인은 무엇인가? 연구 문제2. 중학교 3학년 학생들이 가지고 있는 이차함수에 대한 오개념을 처치하기 위하여 연구자가 사용한 교수 방법은 무엇인가? 연구 문제를 해결하기 위한 연구 대상자는 경기도 고양시에 위치한 S중학교 3학년 상위 30~65%에 해당하는 학생 10명이며 연구 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 이차함수에 대한 오개념은 8개의 범주로 나눌 수 있었고, 총 15개가 발견되었다. 오개념이 형성된 주된 원인으로는 일상생활의 언어에 많이 노출되어 있기 때문이고, 이차함수의 대수적 표현과 기하적 표현 사이의 불일치 때문에 형성된 오개념도 있었다. 또한 일차함수의 성질을 이차함수에도 적용시켜서 형성된 오개념과 교사의 부적절한 용어 사용과 판서에 의한 오개념도 있었다. 연구 문제1에서 발견된 15개의 오개념에 대한 내용을 요약하면 다음과 같다. 이차함수의 식 에서 동류항끼리의 계산을 하지 않은 채로 가장 높은 차수 을 보고 차함수라고 하는 오개념 M1-1과 ‘아래로 볼록’이라는 말에 이상함을 느끼고 아래로 볼록한 그래프를 보고 ‘아래로 오목’이라고 답하는 오개념 M2-1, 일상생활에서 자리 잡힌 ‘아래’와 ‘위’라는 개념 이미지 때문에 ‘아래로 볼록’과 ‘위로 볼록’을 구분할 때 의 부호를 반대로 알고 있는 오개념 M2-2, 그래프가 그려지는 위치에 따라서 ‘아래로 볼록’과 ‘위로 볼록’을 판단하는 오개념 M2-3이 있었다. 또한 값이 작을수록 폭이 좁다고 생각하는 오개념 M3-1이 있었다. 그리고 , 에서 꼭짓점을 구하는 방법을 에 적용시켜서 의 꼭짓점을 라고 하는 오개념 M4-1과 가장 많은 학생들에게서 나타난 이차함수 그래프의 축에 관련된 오개념 M4-2, 의 그래프에서 축의 방정식을 이라고 하는 오개념 M4-3이 있었다. 값이 증가할 때 값이 증가(감소)하는 값의 범위를 찾는 문제에서는 값이 증가하는 부분은 인 값의 범위를 구하고, 값이 감소하는 부분은 인 값의 범위를 구하는 오개념 M5-1이 발견되었다. 또한 이차함수는 일차함수와 성질이 다른 함수임에도 불구하고 일차함수에서 사용할 수 있는 방법을 이차함수에도 적용하여 값의 범위를 찾으려는 오개념 M5-2가 있었다. 또한 대칭이동을 평행이동처럼 ‘일정한 거리만큼 이동’한다고 생각하는 M6-1, 이차함수의 식 를 축에 대하여 대칭이동 한 식이 의 계수만 바꾸어 라고 하는 오개념 M6-2가 있었다. 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동 한 식을 이라고 생각하는 오개념 M7-1, 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정에서는 좌표평면 상에 나타난 그래프만을 보고 최댓값과 최솟값을 구하는 오개념 M8-1, 최댓값과 최솟값을 순서쌍으로 알고 있는 오개념 M8-2가 있었다. 연구자는 오개념 처치를 위한 수업을 하는 교사들에게 도움을 주고자 오개념 처치를 위한 교수방법을 제시하였다. 우선 오개념 교정을 위한 기존의 수업 모형들을 토대로 오개념 처치를 위한 틀을 만들었다. 이 틀을 기본으로 해서 각각의 오개념의 처치를 위해 4단계로 문제를 구성하였다. 연구 문제1에서 밝힌 15개의 오개념 중에서 M1-1, M3-1, M6-2, M8-1에 대해 처치를 시도하였다. 그 결과 복합적인 오개념을 가지고 있던 1명을 제외한 나머지 학생들은 모두 오개념 처치에 성공하였다. 중학교 3학년 이차함수 단원에서 배우는 개념들은 고등학교 수학의 이차함수 활용 단원을 학습하기 위해서 반드시 필요한 개념들이다. 따라서 교사는 중학교 3학년 학생들의 이차함수에 대한 오개념 형성을 최소화 하도록 노력해야한다. 그러기 위해서 교사는 중학교 3학년 학생들이 이차함수 학습 시에 형성할 수 있는 오개념에 대하여 미리 숙지하고, 학생들이 오개념을 형성하는 것을 방지할 수 있도록 교수하는 것에 주의를 기울여야 한다. 연구 결과서에도 알 수 있듯이 중학교 3학년 학생들이 이차함수에 대하여 가지고 있는 오개념 형성의 원인들 중에 교사의 부주의한 개념 표현 때문인 것들이 있었다. 무엇보다 학생들이 직접적으로 오개념을 형성할 수 있는 학교 현장에서 교사는 학생에게 지식을 전달할 때 적절한 표현을 사용하고 올바른 의미가 전달되도록 주의해야 한다. 또한 이미 형성된 오개념에 대해서 교사는 책임감을 가지고 학생들의 오개념 처치를 도와야 한다. 연구자가 제안한 오개념 처치 틀은 복합적인 오개념을 가지고 있던 학생 1명을 제외하고 나머지 학생들에게는 유용하였다. 따라서 오개념 처치를 위한 수업을 계획하고 있는 교사에게 본 연구가 도움이 될 것이며, 처치가 되지 않은 오개념에 대한 후속 연구가 계속 이루어 져야 할 것이다.