중학교 학생들의 그래프 발견에 관한 사례 연구

Abstract

수학에서의 표현은 수학적 아이디어를 전달하고, 문제 해결을 위해 사용되어지며, 수학적 현상 뿐 만 아니라 물리적, 사회적 현상을 모델링하고 해석하는데 사용되어진다. 그 중 그래프는 주어진 상황을 한 눈에 알아보기 쉽게 나타낼 수 있는 중요한 도구이다. 또한 그래프는 일상생활에서 일어난 사건들을 분석하고 정리하며, 일정한 상황적 관계를 간결하게 표현하고 처리하는 도구로써, 수학 뿐 만 아니라 다른 과목을 포함한 사회 제반 여러 곳에서 유용하게 사용된다. 그러나 이러한 수학적 표현의 중요성, 특히 그래프 표현의 중요성에도 불구하고, 그래프를 이해하기 보다는 대수를 위한 수단으로 사용되어지는 형식적인 학교 수학의 영향으로 인해, 학생들은 그래프 표현에 대해 어려워하며(Demana et al., 1993; Dugdale, 1993), 또한 함수의 표현에서 어려움을 겪고 있다(Janvier et al., 1993; Yerushalmy & Schwartz, 1993; Brenner et al., 1997; Hitt, 1998). 따라서 본 연구에서는 지금까지의 그래프 연구와는 다른 관점인 “그래프 발견”을 소개하며, 그리고 지금까지의 표현 연구를 포함하여 진일보한 개념인 "메타표현능력"을 소개하고 이를 활용하고자 한다. 그래프 발견이란, 학생들이 그래프에 관한 형식적인 교육을 받지 않고서도 스스로 수학적인 그래프 표현을 할 수 있을 뿐 아니라, 그래프를 분석하고 적용할 수 있는 것을 의미한다. 메타표현능력이란, 표현을 생성하고 생성한 표현을 비평하여 정교화 하고 새로운 표현을 설계하는 능력 뿐 만 아니라, 새로운 표현과 그 성질을 설명하고 이를 효과적으로, 적절하게 사용 하는 능력이다. 그리고 메타표현능력의 요소로 생성, 비평, 정교화, 설명, 사용 등을 생각할 수 있다. 학생들에게 이러한 메타표현능력을 촉진시켜 줄 수 있는 교수-학습 설계에서 학생들은 어떠한 과정으로 스스로 그래프를 발견하는지, 그리고 이 때 메타표현능력은 어떻게 작용하는지 알아보고자 하는 것이다. 이에 대해 다음과 같은 세 가지 연구문제를 정하였다. 첫째, 학생들은 스스로 그래프를 발견할 수 있는가? 만약, 그렇다면 어떠한 단계를 거치면서 그래프를 발견하는가? 둘째, 그래프 발견 각 단계에서 어떠한 특성이 나타나는가? 셋째, 그래프 발견 각 단계에서 메타표현능력이 어떻게 작용하는가? 이들 연구문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 실험수업 참여자들의 그래프 발견 단계를 관찰하기 위하여 질적 사례연구방법을 사용하였고 본 연구자는 2004년 봄 학기에 형식적인 함수단원을 배운 적이 없는, 즉 그래프에 대해 배운 적이 없는 학생 4명을 관찰하였다. 연구 수업은 총 4차시였고, 일일에 한 차시씩 총 4일 동안 이루어졌으며, 이 때, 교사는 안내자이자 중재자의 역할을 하였고 본 연구자는 관찰자로서의 참여자 역할을 하였다. 4차시 동안 학생들이 탐구한 활동지와 사전 검사지, 사후 검사지는 선행연구를 바탕으로 하여 본 연구자가 재편성 한 것으로 하였다. 실험 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 스스로 그래프를 발견하고 사용 할 수 있었다. 그리고 이 때, 그래프 발견 과정은 “전이미지 단계 → 이미지 단계 → 그래프 표현 단계 → 그래프 분석 단계 → 그래프 적용 단계”를 거쳤다. 둘째, 각 단계별 특성을 살펴보면 우선, 전이미지 단계는 자신의 머리 속에 떠오르는 막연한 이미지를 표현 하는 단계로서 그림에 가까운 표현을 하는 단계이며 이때의 표현은 비수학적이다. 이미지 단계는 전이미지 단계의 표현에서 비 수학적인 요소를 배제하여 전이미지 단계에서 생성한 표현을 세련되고 정교하게 수정·보완하는 단계이다. 그래프 표현 단계는 타인이 보아도 언어적 설명 없이 전달될 수 있는 표현을 창출하는 단계로 좌표축이 도입되고 그 좌표축에 이름을 붙일 수 있는 단계로 수학적인 표현을 하는 단계이다. 그래프 분석 단계는 주어진 그래프를 해석할 수 있으며 주어진 그래프를 다른 표현으로 번역을 할 수 있는 단계이다. 그리고 그래프 적용 단계는 전이미지 단계, 이미지 단계, 그래프 표현 단계, 그래프 분석 단계를 바탕으로 하여 일상생활에서 그래프를 사용할 수 있는 상황을 찾아볼 수 있고, 그 상황에 맞는 그래프를 그려볼 수 있는 단계이다. 셋째, 그래프 발견을 하는 과정동안 메타표현능력이 어떻게 작용했는지에 대한 탐구 결과는 우선, 직면한 문제 상황에서 전이미지 단계에 작용하는 메타표현능력은 생성 능력이고 전이미지 단계에서 이미지 단계에 작용하는 메타표현능력은 생성, 비평 능력, 이미지 단계에서 그래프 표현 단계에 작용하는 메타표현능력은 생성, 비평, 정교화 능력, 그래프 표현 단계에서 그래프 분석 단계에 작용하는 메타표현능력은 생성, 비평, 정교화, 설명 능력, 그래프 분석 단계에서 그래프 적용 단계에 나타나는 메타표현능력은 생성, 비평, 정교화, 설명, 사용 능력이었다. 이상에서 살펴 본 연구 결과를 토대로 제한점을 밝히고 및 제언 및 후속연구제안을 하였다. 본 연구의 제한점은 다음과 같다. 첫째, 연구가 너무 짧은 시간에 이루어졌다. 즉, 학생들에게 더 충분히 생각을 표현 할 기회를 주지 못하였고, 1차시 수업이 120분씩 진행되기도 하였다. 또한 보다 많은 문제를 탐구 할 수가 없었다. 둘째, 짧은 연구 기간으로 인하여 그래프 발견 경험을 한 학생들이 이후 함수 단원을 배우고 나서의 성취를 살펴 볼 수가 없었다. 그리고 연구 결과 및 제한점에 근거한 제언 및 후속연구제안은 다음과 같다. 첫째, 학생들이 스스로 그래프를 발견하는 것이 가능했으므로, 함수 수업 이전에 이러한 경험을 가지게 하는 것이 의미 있을 것이라 추측된다. 그리고 그래프 발견 경험이 있는 학생들과 경험이 없는 학생들을 대상으로 함수 단원 성취도 검사 및 그래프에 대한 태도 검사를 하는 것도 흥미로운 주제가 될 수 있을 것이다. 둘째, 5단계의 그래프 발견 단계를 찾았고, 이에 대한 특성을 살펴보았다. 이 5단계를 좀 더 확실히 하기 위해서 더 많은 학생들을 대상으로 한 후속 연구가 필요하다. 셋째, 그래프 발달단계에서 메타표현능력은 보다 효과적인 그래프 발견을 위한 요소라 생각되며, 이러한 그래프 발견 경험과 메타표현능력을 촉진 시켜주는 환경이 어울러 질 수 있는 교육과정 개발 연구도 필요하다.;The representation of mathematics is used for delivering mathematical ideas, solving problems, and performing the modelling or interpreting physical and social phenomena. In this regard, graph is an important tool to present the given text in a plain view. In addition, graph is used in various matters including other subjects as well as mathematics as a useful tool to express and deal with fixed and conditional relationship on our daily lives(Demana et al., 1993; Dugdale, 1993; Janvier et al., 1993; Yerushalmy & Schwartz, 1993; Brenner et al., 1997; Hitt, 1998). Despite the importance of the Mathematical representations, especially the importance of the graphic representations, students are in difficulties with representation the graphs and functions, due to the formal teaching at school which makes the graphs used as a tool of formal algebra rather than understandable for students makes students understood. Therefore this study introduces “Inventing Graphing” which is a different point of view until now and also includes the applications to the studies of the representations which have been studied. Meta-representation competence an advanced conception is also included in this study. Inventing the graphs is that students represent mathematical graphs by themselves even though they are not given formal teaching about graphs, and they can analyze and apply to solve mathematical problems. Meta-representation competence is generating the representations, criticizing the generated representations, and designing a new representation. It is also a competence to explain the representation and it's property and lead to be used the representations properly and effectively. It is presumable that the important elements of Meta presentation competence are generation, critique, refining, explanation and use. Teaching-learning design which could draw Meta-representation competence suggests how students find out graphs by themselves and how it works. So the followings are three study subjects. First, Do students can invent graphs on their own? If so, how are the steps? Second, What are the characteristics in each step of invention? Third, How Meta-representation competence works in each steps of invention? To solve these study subjects the quality research method is used to observe steps of the graph invention of experimental class participants in this study. I, a researcher of this study, observed 4 students who had not been taught formal functions that is who have no idea about graphs at all in 2004 spring term. Experimental class was progressed 4 steps which are 1 step each day for 4 days. The consequence of the experiment is the following. First, the students invented and used graphs by themselves. And at that time, the steps of the invention were progressed “Pre-imaging step, Imaging step, Graphing representation step, Graphing analysis step, Graphing application step.” Second, there are characteristics of each step. Pre-imaging step is obscure images which are in people's mind represent and like just a picture. So this represents not mathematically. Imaging step excludes non-mathematical elements from representations of pre-imaging step and revise and supple the generated representations delicately from pre-imaging step. Representation of graph step generates representations which makes clear without lingual explanations when anyone sees them. This step includes co-ordinates that can be named and gives mathematical representations. Analysis of graph step is that a given graph can be interpreted and translated into other representations. Application of graph step makes a situation able to apply based on Pre-imaging step, Imaging step, Representation of graph step and Analysis of graph step to be used and to make graphs properly in our daily lives. Third, the consequences how Meta representation competence works are the followings during the progress of the inventions. Meta representation competence applied the pre-imaging step is generating competence in a given situation. Meta representation competence applied to imaging step from pre-imaging step is generation and critique competence. Meta representation competence applied to Representation of graph step from imaging step is generation, critique, refinement competence. Meta representation competence applied to Analysis of graph step from Representation of graph step is generation, critique refine and explanation competence. Meta representation competence applied to Application of graph step from Analysis of graph step is generation, critique, refine, explanation and use competence. The consequence of the study above is finding out the limitation and is suggesting following studies. The limitations are the followings in this study. First, the study was done for too short period which means students were given not enough chances to represent of their thoughts, even one class lasted for 120 minutes so that no other subjects could be dealt with. Second, students who experienced the inventing of graphs could not be examined about accomplishment after learning function unit due to the short period of the study. And the followings are the suggestions based on the consequence of the study and the limitation about the following studies. First, it is presumable that the experiences are good for students before learning function unit because students could find out graphs by themselves. It will be also an interesting subject if a test between experienced students with graph-invention and not experienced ones, can be done to find out accomplishment grade of function unit and attitudes about graphs. Second, 5-steps of graph-invention are suggested and the characteristics are examined. To make sure this 5-steps, following studies on more students are needed. Third, Meta representation competence is an factor to invent graphs much more effectively in graph-invention step. This experience of graph-invention and the situation which affects Meta representation competence are needed together to be studied development of curriculum.