학생들의 수학적 정당화 유형과 논쟁 구조의 관계

Abstract

수학에서의 형식적 증명은 전통적으로 수학적 사고를 구성하는 중심 역할을 하는 것으로 간주되어왔기 때문에 수학의 교수-학습에 있어서도 형식적 증명은 수학 학습의 최종점으로 여겨져 왔다(Yackel & Hanna, 2003). 그러나 최근까지 수학교육에서의 증명은 궁극적인 입증의 방법으로만 사용되어 설명, 확신, 체계화, 발견, 의사소통 등과 같은 다양한 기능을 제대로 수행하지 못하였다(Leddy, 2001; Senk, 1985; Thompson, 1996; Yackel & Hanna, 2003). 이에 최근에는 학교 수학에서의 증명에 대한 재평가가 이루어지면서 증명은 수학교육에서 설명과 의사소통의 중심 역할을 하게 되었고, 이런 의미에서 본 연구에서는 학생들이 자신의 추측에 대하여 확신하기 위하여, 또는 다른 사람에게 자신의 추측을 설명하기 위하여 제시하는 것으로서의 넓은 의미의 증명을 '정당화(justification)'라고 하였다. 그러나 학생들의 정당화에 대한 선행연구들은 정당화의 유형이나 수준을 분류하기 위한 것에만 그치고 있을 뿐(Knuth & Elliott, 1998; Simon & Blume, 1996; Sowder & Harel, 1998; Tall, 1998), 수학의 교수-학습 현장에서 학생들의 수학적 논쟁 구조 속에 나타난 정당화에 대한 이해를 발달시키기 위한 연구는 거의 이루어지지 않았다. 따라서 본 연구는 탐구를 중심으로 하는 미분방정식 수업의 학습 과정에서 학생들의 정당화에 대하여 탐색하고, 이를 통하여 수학교육에서 학생들의 정당화에 대한 이해와 정당화를 촉진하기 위한 교수법에 대한 시사점을 얻고자 하였다. 또한 미분방정식의 교수-학습에 대한 새로운 방향을 모색하는 선행연구들이 대부분 미분방정식에 대한 다양한 접근방법을 강조하는 것에만 치중되어 있고(Blanchard, 1994; Borrelli & Coleman, 1999; Boyce, 1994; Boyce, 1999; Branton & Hale, 1999; Cooper & LoFaro, 1999; Hubbard, 1994; Lomen, 1999; Manoranjan, 1999; Shampine & Gladwell, 1999; West, 1999), 미분방정식의 새로운 교수-학습 방법을 실제로 적용한 결과 나타나는 학생들의 반응이나 그 효과에 대한 연구는 있다고 하더라도 그 내용이 일계 미분방정식과 관련된 것으로만 제한되어 있다는 점을 고려하여(Artigue, 1992; Rasmussen, 2001; Rasmussen & King, 2000; Zendieh & McDonald, 1999; Habre, 2000), 본 연구의 자료 수집은 탐구 중심의 대학 미분방정식 수업에서 선형 연립 미분방정식의 학습 과정에 있는 학생들의 토의와 논쟁 과정에 초점을 두었다. 이런 맥락에서, 본 연구에서는 탐구 중심의 대학 미분방정식 수업에서 선형 연립 미분방정식의 학습 과정에 있는 학생들의 수학적 정당화에 대하여 탐색해보고자 하였고, 이를 위하여 (1) 학생들의 정당화에는 어떤 유형이 있으며 각 정당화의 유형은 어떤 특징을 나타내는가, (2) 학생들의 논쟁 구조 속에서 나타나는 정당화의 유형은 어떠한가, (3) 학생들의 정당화 유형은 서로 어떻게 연관되어 있는가를 구체적인 연구문제로 두었다. 이에 본 연구자는 RME(Realistic Mathematics Education) 기반의 탐구 중심 미분방정식 수업의 교수-학습 설계에 대하여 다년간의 프로젝트로 연구 중인 대학 미분방정식 수업의 교수실험에 2002학년도와 2003학년도의 조교 및 연구보조원으로 참여하였고, 이 중 2003학년도의 참여관찰로부터 학생들의 수학적 정당화에 대한 자료를 수집하여 연구 문제에 대한 답을 얻기 위한 질적 연구를 실시하였다. 자료의 분석 결과, 먼저 탐구 중심의 대학 미분방정식 수업에서 선형 연립 미분방정식의 학습 과정에 있는 학생들의 수학적 정당화 유형은 크게 외부의 근거를 사용하는 정당화, 경험적 근거를 사용하는 정당화, 형식적 근거를 사용하는 정당화로 대분하였고, 이를 다시 10개의 하위 항목으로 세분하여 각 유형의 특징을 서술하였다. 그러나 학생들의 정당화 유형은 제각기 독립적으로 존재하는 것이 아니며, 하나의 과제를 해결하는 논쟁 구조 속에서 학생들은 흔히 두 가지 이상의 정당화 유형을 함께 제시하여 과제에 대한 다양한 접근을 시도하고 있었다. 이에 정당화의 유형과 논쟁 구조의 관계를 분석한 결과, 학생들은 과제에 대한 대안적인 접근법을 제시하고자 할 때, 또는 보다 포괄적이고 일반화된 설명을 제공하고자 할 때 논쟁의 구조 속에 나타난 정당화의 유형을 바꾼다는 것을 알 수 있었다. 마지막으로, 본 연구자는 정당화의 유형과 특성, 그리고 이들과 논쟁 구조의 관계에 대한 분석으로부터 세 번째 연구 문제의 답을 얻을 수 있었는데, 학생들의 정당화 유형 간의 유기적 관계는, 첫째, 학생들이 사용하는 정당화의 모든 유형이 선형 연립 미분방정식을 탐구하는 학생들의 이해 발달 과정에서 고유하고 중요한 역할을 담당하고 있었다는 것, 둘째, 탐구 중심의 대학 미분방정식 수업에서 선형 연립 미분방정식의 학습 과정에 있는 학생들이 보여준 정당화 유형과 논쟁 구조의 관계에서는 정해진 패턴이나 규칙이 나타나지 않으므로 정당화의 유형 간에는 일정한 순서나 수준이 존재하지 않는다는 것으로 분석되었다. 이상의 분석 결과에서 학생들이 보여준 다양한 정당화의 유형과 논쟁 구조의 관계는, 본 연구에서 관찰한 미분방정식 수업과 같이 토의를 중시하는 탐구 중심 수학 교수-학습 방법이 수학적 정당화뿐만 아니라 미분방정식과 관련된 주요 개념에 대한 학생들의 이해 발달에 매우 긍정적인 효과를 가져 올 수 있다는 강력한 시사점을 주었다. RME 기반의 탐구 중심 미분방정식 수업에서 미분방정식에 대한 다양한 접근방법을 강조하는 교수학적 설계를 통해 학생들의 논쟁 구조 속에는 자연스럽게 다양한 정당화 유형이 나타날 수 있었다. 또한 학생들이 고유벡터에서 고유값으로 전개되는 교수학적 설계에 대한 필요성과 중요성을 언급함으로써, 이에 대한 전통적인 접근방법의 역순을 취한 본 미분방정식 수업의 교수학적 설계가 학생들의 보다 개념적인 이해 발달에 긍정적인 효과를 가져왔다는 증거를 보여주었다. 한편 미분방정식과 관련된 맥락문제의 토의를 통한 학생들의 탐구와 발견 과정을 중시하는 본 미분방정식의 수업방식으로부터 기대할 수 있는 또 하나의 긍정적인 효과는, 본 미분방정식이 사범대학 수학교육과 학생들을 주 대상으로 개설된 수업이라는 점에서도 찾을 수 있었는데, 미래의 수학교사인 학생들이 탐구 중심의 토의식 수업에 참여한 경험은 교사가 된 후 그들의 수학 교수-학습 방법에서 중요한 변화를 가져올 수 있다는 가능성을 보여주었다. 이상에서, 학생들의 정당화에 대한 연구는, 교수학적 설계에 따르는 수학교실이 속한 환경으로서의 맥락과 탐구 대상이 되는 과제의 배경을 이루는 맥락을 떠나서는 생각할 수 없다는 시사점을 얻을 수 있었기에, (1) 수학적 정당화와 테크놀로지의 특성과의 관계에 대한 연구, (2) 교사의 역할이 학생들의 수학적 정당화에 주는 영향에 대한 연구, (3) 학생들이 탐구하고자 하는 맥락문제와 그들이 사용하는 수학적 정당화 유형의 관계에 대한 연구, (4) 학생들의 수학적 견해가 그들의 수학적 정당화에 끼치는 영향에 대한 연구를 후속 연구로 제안한다.

; Proof plays a central role in mathematics and learning of mathematics, and has many functions within mathematics, including verification, explanation, systematization, discovery, communication, construction of empirical theory, exploration of definition and of the consequences of assumptions(Yackel & Hanna, 2003). However, in the past, it has been encountered only as the ultimate method of verification, but doesn't its' role.(Leddy, 2001; Senk, 1985; Thompson, 1996; Yackel & Hanna, 2003). In this context, with reevaluation of proof, the function of proof that may have the most promise for mathematics education are those of explanation and communication. We will call proof playing these various functions 'justification'. Most researches, studying students' justification, were investigated to gain some insight into what types and levels of students' justification(Knuth & Elliott, 1998; Simon & Blume, 1996; Sowder & Harel, 1998; Tall, 1998). Thus, in this research, we studied not only category of students' justification but also it's relation to the structure of argumentation in inquiry mathematics classroom setting of differential equations. Most studying of reform differential equations have focused to recommend new direction of differential equation course which emphasize unification of variable approach, applied such direction in first order ordinary differential equations(Artigue, 1992; Blanchard, 1994; Borrelli & Coleman, 1999; Boyce, 1994, 1999; Branton & Hale, 1999; Cooper & LoFaro, 1999; Habre, 2000; Hubbard, 1994; Kallaher, 1999; Lomen, 1999; Manoranjan, 1999; Rasmussen, 2001; Rasmussen & King, 2000; Shampine & Gladwell, 1999; West, 1999; Zendieh & McDonald, 1999). In this study focused to process of learning the systems of linear differential equations. Specific issues of study are during learning systems of linear differential equations in inquiry differential equations course (1) which kinds of justification by student were made, and which patterns reveal to each; (2) which kinds of justification were shown in structure of argumentation; (3) and how much the patterns associate to each other. In this purpose, qualitative research by doing participant observation in teaching experiment of RME(Realistic Mathematics Education)-based differential equations course was proceeded. Analysing of the data generated the following four themes. First, students' justification patterns which were shown during learning systems of linear differential equations in inquiry differential equations course were classified in justification using external resource, justification using empirical resource, and justification using formal resource. They were breaked down by ten, and were described the feature. Second, an analysis (of discourse in systems of linear differential equations) says students switching their patterns in structure of argumentation when they hand in the alternative method for problems, else need more generalized explain. Third, organic relation of students' justification patterns is that they are distinguished each other, have their own roles and have no particular sequence or level. And the last, as the RME-based differential equations course which accented in students' discussion, the inquiry mathematics class can drive the relatively affirmative effect in not only students' justification, but also developing of students' understanding about key concepts of differential equations. Studies suggested for succeeding this study are, (1) the relation of students' justification & characteristic of technology; (2) the effect of the role of teacher in mathematics class in students' justification; (3) the relation of context problem which student inquire & type of students' justification; (4) the effect of students' view about mathematics in students' justification.