문제해결과정에서 수학적 추론이 일어나는 언어적 상호작용 분석

Abstract

2007 개정 교육과정에서는 국민공통 기본교육과정 전체를 대표하는 10년간의 총괄목표를 ‘수학적 지식과 기능을 습득하고 수학적으로 사고하고 의사소통하는 능력을 길러, 여러 가지 문제를 수학적으로 고찰하고 합리적으로 해결하는 능력을 기르며, 수학에 대한 긍정적인 태도를 기른다’고 제시하고 있다. 여기에 제시된 수학적 사고력은 추론능력과 관련된 것이다. 추론은 문제해결, 의사소통, 수학적 연결성과 함께 학교 수학에서 강조되는 중요한 규준이다(NCTM, 2000 ; 교육인적자원부, 2007). 그리고 2009 개정교육과정에 따른 수학과 교육과정에서는 복잡하고 전문화되어가는 미래 사회에서 사회구성원에게 필요한 핵심역량은 창의적 사고능력, 문제 해결 능력, 정보처리 능력, 의사소통 능력등으로 이는 주로 수학적 추론, 수학적 문제 해결, 수학적 의사소통과 같은 수학적 과정의 교수 학습을 통하여 증진되며, 수학적 과정을 통해 길러진 핵심역량은 타교과의 성공적인 학습에 기반이 될 뿐만 아니라 나아가 개인의 전문적 능력의 증진과 창의․인성중심의 21세기 지식 기반 사회의 민주시민에게 필요한 소양과 경쟁력을 갖추는 데에도 토대가 된다(교육과학기술부, 2011)고 강조하였다. 수학과 개정 교육과정에도 나타나 있듯이, 1990년대 이후로 학교 수학 교육에서 강조하는 세계적인 흐름의 하나가 수학적 추론 능력을 강조하는 것이다. 또한 선행연구 결과, 근접 발달 영역내의 언어적 상호작용은 개인의 추론능력향상에 긍정적인 영향을 준다는 것을 알 수 있다. White, Alexander, & Daugherty(1998)는 수학을 학습하는 과정에서 사용되는 사적 언어(private speech)와 사회적 언어(social speech)중에서 특히 사회적 언어가 유추 능력 향상에 매우 중추적인 역할을 한다고 주장하였다. 이외에도 수학 교수․학습과정에서 사용되는 언어적 상호작용이 학생들의 학업성취도 및 추론능력과 관계가 있다는 연구결과들이 최근에 많이 발표되고 있다(Kim et al., 2007; Mercer, 1996, 2008; Mercer, Wegerif, & Dawes, 1999; Webb & Treagust, 2006). 하지만 이러한 연구들은 교실에서의 언어적 상호작용이 추론 능력, 성취도 및 정의적 영역의 수학적 태도등에 긍정적인 효과가 있다고 일반적으로 주장하지만, Edwards & Jones(2003)가 지적한 바와 같이 학생들이 사용하는 어떤 형태의 언어적 상호작용이 학생들의 추론 능력 향상에 긍정적인 효과를 가져오는가에 대해서 구체적인 질적 분석 연구는 미흡하며, 특히 수학교실에서의 추론과 관련하여 언어적 상호작용 형태를 분석한 구체적인 질적인 사례연구는 매우 부족하다. 따라서, 본 연구를 실행하는 동안 학생들이 추론문제를 해결하면서 나누는 언어적 상호작용을 명확하고 자세하게 서술함으로써 학생들의 추론에 관한 정보를 수집 및 분석하였다. 학생들의 수학적 추론 능력을 신장시키기 위하여, 규칙성과 문제해결 내용영역을 중심으로 귀납과 유추등을 통해 학생 스스로 수학적 사실을 추측하고 정당화하는 과정을 분석하였다. 수학적 추론을 통해 합리적으로 사고하는 능력을 키우고 일상생활에서 자신의 의견을 정당화할 때 적절한 근거에 기초하여 논지를 전개할 수 있게 함으로써 학교수학에서 인지적 능력의 증진은 물론 수학학습에 대한 자신감과 긍정적 태도등 정의적 영역의 개선과 상대방을 이해하고 배려하는 바람직한 인성을 길러 수학적 소양 및 민주시민의 소양을 기르게 하고자 하였다. 질적 연구의 논리를 따르는 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 정하여 분석하였다. 첫째, 문제해결과정에서 수학적 추론 능력이 우수한 학생들은 지식 구성면에서 어떤 특징이 있는 언어적 상호작용을 하는가? 둘째, 문제해결과정에서 수학적 추론능력이 우수한 학생들의 추론적 사고의 질은 어떤 특징이 있는가? 셋째, 문제해결과정에서 수학적 추론 능력이 우수한 학생들은 언어적 상호작용시 어떤 유형 대화의 빈도수가 높은가? 넷째, 문제해결과정에서 수학적 추론이 일어나는 언어적 상호작용의 패턴은 무엇인가? 이러한 연구문제를 실행하여 분석한 연구결과는 다음과 같았다. 첫째, 문제 해결 과정에서 추론이 일어날 때 학생들이 사용한 언어적 상호작용중에서 지식 구성과 관련된 개별 진술 분석결과 학생들은 개념적인 진술의 빈도수가 가장 높았으나, 추론문제의 성공여부와 가장 관련성이 깊은 것은 메타인지적 지식이었다. 개념적 진술의 경우, 의견제시, 정보제시, 요약해서 제시, 반복 제시, 정교화등으로 나누었을 때, 의견 제시는 추론능력에 따라 차이가 거의 없었으나, 정보를 제시하는 진술과 정교화 능력은 추론 능력에 따라 차이가 컸다. 특히 개념적 진술중에서 특징적인 것은 요약해서 제시하는 진술은 추론문제 해결이 부진한 학생의 경우에 전혀 관찰되지 않았다는 것이다. 메타인지적인 진술의 분석결과, 추론 문제 해결의 성공여부와 관련성이 가장 높음을 알 수 있었다. 특히 추론 능력이 뛰어난 학생들은 과제 해결을 위한 기준의 반성, 토론과정에서 형성된 이해에 대한 반성, 토론과정이나 결과물들이 충족해야 할 기준에 대한 반성 및 추론 문제 해결을 위한 행동을 조절하는 능력이 우수함을 알 수 있었다. 결론적으로 문제해결과정에서 추론적 사고가 잘 일어나기 위해서는 과제 해결에 필요한 기준을 반성하는 능력을 기르고, 문제를 해결하는 여러 가지 해결 방법을 찾거나 문제 해결 과정에 오류를 찾아 반성하는 능력을 길러야 한다고 주장하는 바이다. 그리고 문제를 해결하는 과정에 오류가 있을 경우 문제 해결 행동을 통제하거나 조절하는 능력이 꼭 필요하다. 둘째, 추론적 사고의 질과 관련하여 언어적 상호작용의 생성성, 정교화, 정당화, 설명, 논리적 일관성, 종합으로 나누어 분석한 결과 학생들은 추론문제를 해결하는 동안 토론과정에서 만들어지는 하위논제의 수로 측정되는 생성성의 빈도수가 가장 많았다. 문제해결 과정에서 추론을 잘 하는 학생들은 정교화 능력 및 설명하는 능력이 뛰어났다. 추론을 잘 하는 학생들은 문제 해결시 증명을 하는 정당화보다는 추론문제 해결과정이 옳음을 이해시키기 위해 설명하는 능력이 우수하였다. 추론적 사고의 질과 관련된 한 가지 교수학적 시사점은 추론적 사고의 수준을 높이기 위해서는 단순한 관찰에 의한 근거로 논쟁에 참석하기 보다는 규칙성이나 추리를 근거로 논쟁을 하게 해야 한다. 그리고 두 개 이상의 다수의 의견 및 수학적 아이디어를 생성하여 정교화, 정당화 및 설명을 하게 하면 추론적 사고의 수준이 높아질 수 있다고 주장하는 바이다. 셋째, 문제 해결 과정에서 추론적 사고가 일어날 때 나타나는 언어적 상호작용의 대화 유형중에서 추론을 잘 일어나게 하는 언어적 상호작용의 대화 유형은 탐구적인 대화(exploratory talk)이다. 따라서 문제 해결 과정에서 추론을 성공으로 이끄는 탐구적인 대화를 활성화시키고 수학교실의 하나의 관행으로 자리잡게 해야할 것이라고 주장하는 바이다. 넷째, 문제 해결 과정에서 추론이 일어날 때 나타나는 언어적 상호작용의 패턴은 앞서 주장된 추론적 사고의 질 분석과 관련된 연구결과와 관련지어 교수학적 방안을 주장하는 바이다. 본 연구의 대상인 초등학생의 경우 하나의 아이디어에 대한 다수의 정교화, 정당화, 설명은 가능하나 두 개 이상의 반대되는 아이디어들이 정교화, 정당화, 설명 및 그러한 과정을 통한 종합적인 사고는 아주 미흡하였다. 이는 초등수학교육에서 앞으로 교수학습과정을 통해 추로능력을 향상시키기 위해서는 단순한 주장과 반박뿐만 아니라, 앞서 설명했던 언어적 상호작용의 패턴처럼 아이디어를 생성하고, 비교와 평가의 상호작용과정에서 반박에 대한 반증 및 지지등의 과정을 통해 다수의 추론적 사고의 아이디어들이 보다 다양하고 논리적으로 일관되게 종합되어 여과됨으로써 추론적 사고의 질 또한 향상될 수 있음을 주장하는 바이다. 그리고 이러한 언어적 상호작용의 패턴중에서 비교와 평가, 여과과정에서 교사의 교수학적인 전략 및 역할이 필요하다고 주장하는 바이다. 본 연구결과는 문제해결과정에서 추론이 일어나는 학생들의 언어적 상호작용을 분석함으로써 추론능력의 향상 및 추론적 사고의 질 향상을 위한 교사들의 노력에 긍정적인 영향을 줄 것이라 기대하는 바이다. 더불어 추론과 언어적 상호작용의 관련성에 대한 앞으로의 후속연구를 위해서 제언하면, 추론의 논증적인 역동성과 추론의 메타인지적인 지식 수준에 대한 질적 분석과 관련된 연구가 필요할 것이라 주장한다;Inferred from this study lead to the problem-solving process "verbal interaction". The students were analyzed for their characteristics in their reasoning skills. In order to improve their reasoning skill through verbal interactions. That can be used effectively to present pedagogical methods. Pedagogical methods such as the improvement of students' reasoning skills as well as thinking. The verbal interactions would help to improve the quality of their reasoning skill. Sheeran, and Barnes (1991), Brown & Palinscar (1989), Galton (1989); Bennett and Dunne (1992), Gipps (1994), Christie and Martin (1997) and many other researchers from the educational language and education practices field agree with the verbal interaction theory, but they do not described how verbal interaction is effective. The process is justified not only by the teacher scaffolding of their whole class but also with students scaffolding with each other. Through the verbal interaction the quality of education was improved. The results of this study and pedagogical practices in the classroom are that verbal interaction helps improve the students' reasoning strategies and can have a significant impact on their academic development. The results of this study are as follows: First, the problem-solving process is derived from the rise of verbal interaction. Students who can reason through a construct knowledge during mathematical problem solving have the highest frequency of conceptual representations, but the cognitive knowledge was the most sucessful for mathematical reasoning problems. Through meta-analysis, cognitive representation is relevant to the success of the mathematical reasoning. Second, the quality of reasoning is related to the generalization, elaboration, justification, explanation, logical consistency, and synthesis of verbal interaction. comprehensive analysis of the data shows the students discussing the inference made during the course of the number of sub-topics produced. Of the measured frequency of each quailty of reasoning, generaliztion was the most common. Students should use pedagogical implications in order to increase the level of reasoning. While debating students should not just discuss the topic with observation but instead should discuss with reasoning inference after the observation. Two or more mathematical ideas about content, produce the majority opinion and the elaboration, justification and description of the reasoning, you can increase the level of reasoning. Third, during the problem-solving process students use four categories of debate, exploratory talk, disputational talk, accumulative talk, and representive talk. But among the four categories exploratory talk is the most sucessful for reasoning skill. Fourth, reasoning in problem-solving process have shown a pattern of verbal interaction, that appears when you claim the above analysis. The pattern is generalization, comparison, evaluation, and filtering. To conclude, the results derived from the problem-solving process takes place to analyze students 'verbal interaction by improving reasoning skills. Improving the quality of teachers' efforts will have a positive impact on a case forward. It is recommended that for a future follow-up studies, the dynamics of reasoning and argumentation reasoning about the meta-cognitive level of knowledge related to qualitative analysis would require another study claims.