Numerical Study on Further Relaxations of the Moment Cone Relaxation for Polynomial Optimization Problems

Abstract

We study the relaxations of moment cone relaxation of polynomial optimization problem numerically. Recent interests in completely positive programs (or copositive programs) for quadratic optimization have been a basis of extension of completely positive programs to the moment cone relaxation problem for polynomial optimization problems (POPs). As shown by Arima, Kim and Kojima, the moment cone relaxation provides the exact optimal value for POPs theoretically. However, it is not possible to numerically deal with the moment cone relaxation for POPs or completely positive relaxation for QOPs, due to the difficulty of deciding whether the given variable matrix is completely positive or not. Thus, we study a further relaxation of the moment cone relaxation of POPs and show numerically that it provides a better bound that semidefinite programming relaxation.;다항식 최적화 문제의 moment cone 완화 방법(moment cone relaxation)의 수치적 완화에 대하여 연구하였다. 2차 최적화 문제의 completely positive (or copositive) 프로그램에 대한 최근의 연구를 기초로하여 다항식 최적화 문제를 풀기위한 한 방법인 moment cone 완화 문제에 대한 completely positive 프로그램을 확장하였다. Arima, Kim and Kojima는 moment cone 완화가 이론적으로 정확하게 다항식 최적화 문제의 목적값을 줄 수 있음을 밝혔다. 하지만, 다항식 최적화 문제나 2차 최적화 문제의 completely positive 완화를 위한 moment cone 완화를 수치적으로 다루는 것은 불가능하다. 이는 주어진 변수행렬이 completely positive인지 아닌지를 판단해내는 것이 매우 어렵기 때문이다. 따라서 우리는 다항식 최적화 문제의 moment cone 완화를 한 단계 더 완화한 방법에 대하여 연구하였고 이것이 SDP완화 방법(semidefinite programming relaxation)보다 더 수치적으로 나은 해를 위한 범위를 줄 수 있음을 보였다.