Polynomial Representations for Cube Roots in Finite Fields

Abstract

암호에서 유한체에서 n제곱근을 구하는 것은 중요한 연산 문제로서 페어링의 역함수를 구하는 문제(PI)와 밀접하게 관련되어 있는데 이것은 계산적으로 어려운 문제이고 그것의 어려운 정도는 이산 대수 문제에 상응하여 어렵다고 믿고 있다. Agou-Deleglise-Nicolas 은 [2]에서 유한체의 소체에서 제곱근을 계산하는 결정적인 방법으로 제곱근을 나타내는 다항식을 소개하고, 다항식의 0이 아닌 계수의 개수에 관련된 결과를 보여주었다. 본 학위 논문에서는, 유한체에서 세제곱근을 계산하는 것에 대한 접근 방법으로 Agou-Deleglise-Nicolas의 결과를 유한 확대체에 대해서 세제곱근으로 일반화한다. 구체적으로, 유한체에서 세제곱근을 나타내는 다항식을 차수 조건에 대해 매개변수화하고 0이 아닌 계수의 수가 적은 세제곱근을 나타내는 다항식의 존재성에 대해 증명한다. 또한, {F_p}^*에서 세제곱근을 나타내는 다항식의 0 이 아닌 계수의 수가 예외적으로 적은 것이 존재하는 조건을 만족하는 소수 p의 집합의 유한성에 대해 증명한다.;In cryptography, the n-th root problem is closely related to the pairing inversion problem (PI), which is a computationally hard problem whose hardness is believed (and proved in certain cases) to be equivalent to the discrete logarithm problem; see [4, 8]. Polynomials representing n-th roots in a finite field provide a deterministic method for computing n-th roots. In [2], Agou-Deléglise-Nicolas obtained results concerning the length, i.e. the number of non-zero coefficients, of polynomials representing square roots in prime fields. In this thesis, we study an approach for computing cube roots in a finite field. More precisely, we generalize results of Agou-Deléeglise-Nicolas to the case of cube roots over finite extension fields. We parametrize polynomials with certain degree condition that represent cube roots in a finite field, and then prove existence of polynomials representing cube roots with small number of non-zero coefficients. Finally, we prove finiteness of the set of primes p for which there exist polynomials representing cube roots in {F_p}^* whose number of non-zero coefficients are exceptionally small.