Construction of a Non-linear Quasi-interpolation Based on the Cubic B-splines

Abstract

A Quasi-interpolation method is a very useful tool for multivariate data approximation. It provides very accurate results depending on the associated approximation order and especially enables very large-scale data sets to be handled efficiently. The linear quasi-interpolation has advantages in simplicity and fast computation, but often suffers from ringing artifacts when approximating across discontinuities. In this regard, for a better match to the local structures, this paper presents a non-linear quasi-interpolation method based on B-splines. To this end, we first discuss a smoothness indicator which measures the local smoothness of the given data and then construct explicitly a local non-linear approximation scheme to approximate data with discontinuities. Error analysis of the proposed scheme is provided by showing that the scheme has the same approximation order as the corresponding linear B-spline method. Finally, some numerical experiments are performed to demonstrate the ability of the new scheme to reduce the ringing artifacts near discontinuities.;준보간법(Quasi-interpolation)은 다변량 데이터의 근사에 매우 유용한 근사 기법이다. 이는 최적의 근사 정확도로 정확한 결과를 도출할 뿐 아니라, 대규모 데이터를 다루는 데에도 효과적이다. 특히 선형 준보간법은 단순하며 신속한 계산이 가능하다는 장점이 있으나, 불연속점을 근사할 때 깁스 현상(Gibbs phenomena)을 발생시킨다는 문제가 있다. 이 논문은 이러한 측면에 초점을 두고 3차 B-스플라인 함수를 기반으로 한 비선형 준보간법을 소개한다. 본 논문에서는 먼저 불연속점이 포함된 데이터를 근사하기 위하여 국지적 연속성을 측정하는 인자(smoothness indicator)를 구성하고, 이를 이용하여 3차 B-스플라인 함수를 기반으로 찾은 국지적 비선형 커널을 적용하는 비선형 준보간법을 제시한다. 그리고 제안된 방법의 근사 정확도가 선형 B-스플라인 근사 방법의 최적의 근사 정확도와 일치함을 증명한다. 마지막으로, 몇 가지 수치적 실험을 통해 이 학위논문에서 제안한 비선형 준보간법의 우수성을 확인한다.