초등 수학교과서에서 제시하는 삼각형의 예와 비례(non-examples) 분석 및 초등학생들의 예와 비례 식별 실태조사

Abstract

본 연구의 목적은 삼각형의 예와 비례 유형별 교과서 제시 여부와 빈도를 파악하는 것이다. 또한, 삼각형의 예와 비례를 보고 그것이 삼각형인지 아닌지를 식별할 수 있는 학생들이 얼마나 되는지 학년별 실태를 파악하고자 한다. 이를 위하여 2009 개정 교육과정 2학년 수학 교과서, 2007 개정 교육과정 2~5학년 수학 교과서에서 제시하는 삼각형의 예와 비례를 분석 준거에 따라 유형별로 분석하고, 동일한 설문지를 활용하여 학년별로 삼각형의 예와 비례를 식별하는 설문조사를 실시하였다. 본 연구의 교과서 분석 대상은 2007 개정 교육과정 초등학교 2-1 수학 교과서와 수학 익힘책, 3-1 수학 교과서와 수학 익힘책, 4-1 수학 교과서와 수학 익힘책, 5-1 수학 교과서와 수학 익힘책, 2009 개정 교육과정(2011 교육과정) 초등학교 1·2학년군 수학 3 교과서이다. 설문조사는 서울시 강서구에 위치하고 있는 한 초등학교에 재학 중인 남, 여학생 230명을 대상으로 하였으며, 무응답 문항 및 복수응답 문항이 있거나 고의적으로 일관된 응답을 한 설문지를 제외하고 총 219부를 최종적으로 분석하였다. 수집된 자료는 연구 문제에 따라 빈도분석을 하였다. 본 연구의 분석결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 교과서에 제시된 삼각형의 예와 비례 유형 및 빈도를 알아보기 위하여 삼각형을 ‘직관적으로 삼각형인 예’, ‘비직관적으로 삼각형인 예’, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’의 네 가지 유형으로 분류하여 교과서 분석한 결과는 다음과 같다. 2007 개정 교육과정 2학년 교과서에 ‘직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 9번, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 2번, ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 23번 제시되었고, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 제시되지 않았다. 2009 개정 교육과정 2학년 교과서에 ‘직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 3번, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 14번, ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 12번 제시되었고, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 제시되지 않았다. 2007 개정 교육과정 3학년 교과서에 ‘직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 6번, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 11번, ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 20번 제시되었고, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 제시되지 않았다. 2007 개정 교육과정 4학년 교과서에 ‘직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 35번, ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 76번 제시되었고, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형과 ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 제시되지 않았다. 2007 개정 교육과정 5학년 교과서에 ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형은 18번 제시되었고, ‘직관적으로 삼각형인 예’ 유형, ‘직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 제시되지 않았다. ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 전 학년에서 제시되지 않았다. 둘째, 삼각형의 예와 비례를 보고 그것이 삼각형인지 아닌지를 구별하는 것이 얼마나 가능한지 알아보기 위해 문항별로 빈도 분석을 실시한 결과 2학년에서는 뾰족한 삼각형(17번, 26번)을 제외한 모든 문항의 정답률이 80.0%이상이었다. 3학년에서는 뾰족한 삼각형(17번, 26번)과 둔각삼각형(21번, 25번, 34번)을 제외한 모든 문항의 정답률이 80.0%이상이었다. 4학년에서는 뾰족한 삼각형(17번, 26번 문항)과 둥근 삼각형 모양(2번)을 제외한 모든 문항의 정답률이 80.0%이상이었다. 5학년에서는 뾰족한 삼각형(17번)을 제외한 모든 문항의 정답률이 80.0%이상이었다. 초등학교 2학년~5학년 수학 교과서에서 공통적으로 제시한 유형은 ‘비직관적으로 삼각형인 예’이고, ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 공통적으로 제시하지 않고 있었다. 삼각형의 예와 비례를 식별하는 설문의 문항별 정답률은 교과서 제시 여부와 관계없이 대부분의 문항에서 80%이상으로 매우 높았다. 설문 결과를 학년별로 비교한 결과, 학생들이 매우 쉽게 식별하는 도형과 그렇지 않은 도형은 학년 간에 큰 차이가 없이 대체적으로 유사하다는 것을 알 수 있었다. 정답률이 80% 미만인 삼각형의 예와 비례는 학년에 관계없이 ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형 중 ‘뾰족한 삼각형’과 ‘둔각삼각형’으로 비슷하였다. 즉, 난이도의 측면에서 ‘뾰족한 삼각형’과 ‘둔각삼각형’을 제외하고는 학생들이 매우 쉽게 식별할 수 있다는 결론을 얻었다. 본 연구의 시사점 및 제언은 다음과 같다. 교과서 분석과 설문 결과 ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’ 유형은 2~5학년 수학 교과서에서 전혀 다루어지지 않았음에도 불구하고 학생들이 매우 쉽게 식별할 수 있었다. 하지만 학생들이 보다 다양한 유형의 예와 비례를 접할 수 있도록 ‘비직관적으로 삼각형이 아닌 예’에 속하는 도형을 교과서에서 제시하는 것을 고려해 볼 필요는 있다. 또한 ‘비직관적으로 삼각형인 예’ 유형 중에서 학생들이 어려워하는 ‘뾰족한 삼각형’, ‘둔각삼각형’을 교과서에서 추가적으로 제시한다면 학생들의 삼각형 개념 형성에 도움을 줄 수 있을 것이다.;The purpose of this study was to identify the suggestion in types of examples and non-examples of triangles in textbooks and understand the frequency. Additionally, survey was conducted on each grade level to identify how many students can distinguish between examples and non-example of triangles after looking at them. In order to do so, the examples and non-examples of triangles suggested in the 2nd grade level mathematics textbook used during the curriculum of 2009 and mathematics textbook for 2nd to 5th grade levels used during the curriculum 2007 were analyzed per type according to the analytical criteria. Moreover, identical questionnaire was applied to implement a survey where students per grade level were to distinguish examples and non-examples of triangles. The textbooks that were fixed as the targets of this study were the 2-1 mathematics textbook and studying book used during the curriculum in 2007, 3-1 mathematics textbook and studying book, 4-1 mathematics textbook and studying book, 5-1 mathematics textbook and studying book, and mathematics 3 textbook for 1st and 2nd grade used during the elementary curriculum in 2009 (2011 curriculum). In case of the survey, 230 male and female students enrolled in an elementary school located in Gangseo-gu, Seoul City were targeted as the targets. A total of 219 copies were ultimately analyzed excluding those which had questions with no answers or multiple answers or included constant answers which were deliberately answered in that manner. Frequency analysis was conducted on the collected data following the study problem. The summary of the analyzed results is listed in the following. Firstly, in order to identify the frequency of examples and non-examples of triangles suggested in the textbook, triangles were classified into four types such as the 'intuitive example of a triangle' type, 'non-intuitive example of a triangle type,' 'intuitive non-example of a triangle type', and 'non-intuitive non-example of a triangle type' and following are the analyzed results of the textbook. In the 2nd grade textbook used in the curriculum of 2007, 'intuitive example of a triangle' type was suggested 9 times, 'intuitive non-example of a triangle' type was suggested 2 times, and 'non-intuitive example of a triangle' type was suggested 23 times. 'Non-intuitive non-example of a triangle' type was not suggested. In the 2nd grade textbook used in the curriculum of 2009, 'intuitive example of a triangle' type was suggested 3 times, 'intuitive non-example of a triangle' type was suggested 14 times, 'non-intuitive example of a triangle' type was suggested 12 times, and 'non-intuitive non-example of a triangle' type was not suggested. In the 3rd grade textbook used in the curriculum of 2007, 'intuitive example of a triangle' type was suggested 6 times, 'intuitive non-example of a triangle' type was suggested 11 times, 'non-intuitive example of a triangle' type was suggested 20 times, and 'non-intuitive non-triangle type was not suggested. In the 4th grade textbook of the curriculum used in 2007, 'intuitive example of a triangle' type was suggested 35 times, 'non-intuitive example of a triangle' type was suggested 76 times, and 'intuitive non-example of a triangle' type and 'non-intuitive non-example of a triangle' types were not suggested. In the 5th grade textbook of the curriculum used in 2007, 'non-intuitive example of a triangle', type was suggested 18 times and 'intuitive example of a triangle' type, 'intuitive non-example of a triangle' type, and 'non-intuitive non-example of a triangle' type were not suggested. Accordingly, 'non-intuitive non-example of a triangle' was not suggested in all grade levels. Secondly, as a result of conducting frequency analysis in order to identify to what degree it is possible to distinguish triangles after looking at the example and non-example of triangles, it showed that 2nd grade students showed more than 80.0% of correct answer rate for all questions except for those related to pointy triangles (#17 and #26). 3rd grade students showed more than 80.0% of correct answer rate for all questions except for those related to pointy triangles (#17 and #26) and obtuse triangles (#21, #25, #34). 4th grade students showed more than 80.0% of correct answer rate for all questions except for those related to pointy triangles (#17, #26) and circular triangle shape (#2). 5th grade students showed more than 80.0% of correct answer rate for all questions except for a question related to a pointy triangle (#17). 'Intuitive example of a triangle' was the type that was commonly suggested in elementary mathematics textbooks for 2nd to 5th grade levels, and the 'intuitive non-example of a triangle' was the type that was not suggested. In terms of the correct answer rate per question of a survey in which differentiation is made between examples and non-examples of triangles, a high result of more than 80% was displayed for most questions regardless of whether it was suggested by the textbook. As a result of comparing the survey results per grade level, it was identified that the shapes that were easy or difficult to distinguish did not show big differences between grade levels and were generally similar. In case of examples and non-examples of triangles which resulted in less than 80% correct answer rate, they resulted in 'pointy triangle' and 'obtuse triangle' amongst the 'intuitive example of a triangle' and displayed similar outcomes regardless of the grade level. Thus, in terms of the level of difficulty, it was concluded that students had the abilities to easily distinguish between shapes besides those like the 'pointy triangle' and 'obtuse triangle'. The following are the implication and suggestion for this study. As a result of the textbook analysis and survey, it was displayed that students were able to easily distinguish the 'intuitive example of a triangle' type even though it was not covered in the mathematics textbooks for 2nd to 5th grade levels. However, in order for students to encounter various types of examples and non-examples, consideration should be given to suggesting shapes which are affiliated to the 'intuitive non-example of triangles' in the textbook. Additionally, if shapes that students have difficulties with such as the 'pointy triangle' and 'obtuse triangle' are suggested additionally in the textbook amongst the 'intuitive examples of triangles', it will provide assistance to students in developing their concept of a triangle.