패턴 일반화 문제에 관한 연구

Abstract

The purpose of this study is to better understand pattern generalization problems provided in the current school curriculum and to investigate students’ various pattern generalization strategies. Two sets of data were collected for this study. First, mathematics textbooks for 1st to 6th graders under the Revised 7th National Curriculum and 4 different types of mathematics textbook for 7th to 9th graders under the Revised 9th National Curriculums were selected and analyzed to identify the different types and characteristics of pattern generalization problems. Second, twenty 6th and 8th grade students were randomly selected for the written test followed by the in person interviews. Students’ pattern generalization strategies were analyzed focusing on three major points: the type of strategies(visual, numerical, pragmatic), the use of visual templates(additive, multiplicative, pragmatic), and the type of structural units(constructive, deconstructive, auxiliary-driven, transformation-based generalization). Major findings from the textbook analysis are as follows: Regarding characteristics of pattern generalization problems, 1. Situation or Object Relating Problems were mainly introduced in elementary school curriculum from grade 1 to grade 5. 2. Relationship or Procedure Searching Problems tend to increase across grades while Pattern Searching Problems tend to decrease across grades. Result Searching Problems were rarely introduced in the textbooks. 3. There were only limited types of Pattern Extension Problems. 4. Justification Problems were not consistently introduced across grades. 5. Factual Pattern Generalization Problems were consistently emphasized across grades while Contextual and Symbolic Problems were introduced only limited amount. Regarding various types of pattern generalization problems, 1. Visual Patterns Problems were mainly introduced during middle school curriculum while Other Types of Pattern Problems such as numerical pattern problems were mainly introduced during elementary school curriculum. 2. Limited types of pattern generalization problems were proposed in both elementary and middle school textbooks. For instance, 1st to 6th grade textbooks only introduced Linear Pattern Problems while 8th and 9th grade textbooks only introduced Non-linear Pattern Problems. Only 7th grade textbook introduced both Linear and Non-linear Pattern Problems. Results of students’ strategies can be summarized as follows: 1. 6th grade students tend to use numerical strategy and additive templates in pattern generalization while 8th grade students tend to use visual strategy and pragmatic templates in pattern generalization. 2. 6th grade students were more willing to attempt to generalize ambiguous pattern problems than the 8th graders. 3. Over depending on either numerical or visual strategy inhibits students from further generalizing the pattern into algebraically useful form. 4. Pragmatic pattern generalization helps students to successfully provide algebraic equations. 5. 6th graders tend to use constructive generalization while 8th graders tend to use various types of structural unit when interpreting pattern rules and figural parsing. The study tells us that the pattern generalization problems provided in textbooks only deals with limited types of patterns and those problems lack connectivity across grades. However, we observed that students were capable of generalizing various types of pattern problems. Therefore, approaches to a more comprehensive and integrative curriculum in the te tbook from elementary school to middle school is necessary. Such approaches can allow students to process algebraically useful generalization and apply different types of strategies. Also helping students to interpret pattern relationships both visually and numerically can enable them to overcome the difficulties of reaching algebraic generalization.;패턴 일반화 학습은 전통적 대수 학습 방식으로부터 벗어나 학습자가 직접 사고 기반을 만들어 나가는 과정을 살펴볼 수 있는 학습 방법으로 수학 교육과정에서 그 역할이 강조되고 있다(김성준, 2003; 김철호, 2012). 하지만 실제 학교 수학에서 패턴은 아직까지 수학 교육과정의 핵심 주제로 자리 잡혀 있지 않으며 대부분의 경우 단순히 순서 또는 규칙성을 찾는 레크리에이션 활동으로 여기는 경우가 많다(Zazkis and Liljedahl, 2002). 따라서 수학 교육과정의 핵심 주제로 패턴을 자리 잡기 위한 일환으로 현 교육과정에서 다뤄지는 패턴 일반화 문제의 실태를 분석 할 필요가 있다. 따라서 본 연구의 목적은 우리나라 초·중학교 교과서에 제시되어 있는 패턴 일반화 문제의 특성 및 유형을 분석하고 학생들의 패턴 일반화 전략을 살펴보는데 있다. 연구 문제는 다음과 같다. 1. 초·중학교 수학 교과서에 나타나는 패턴 일반화 문제는 어떠한가? 가. 패턴 일반화 문제의 경험적 특성은 무엇인가? 나. 패턴 일반화 문제의 상황적 특성은 무엇인가? 다. 패턴 일반화 문제의 유형은 무엇인가? 2. 패턴 일반화 문제의 유형에 따른 초·중학교 학생들의 일반화 전략은 어떠한가? 가. 시각적, 수치적, 실용적 전략 중 어떤 전략을 사용하였는가? 나. 덧셈, 곱셈, 실용적 템플릿 중 어떤 시각적 템플릿을 사용하였는가? 다. 구조적 단위에 따른 일반화 전략은 무엇인가? 교과서 분석을 위해 2007 개정교육과정에 의한 공통 교육과정에 해당하는 우리나라 초등학교 수학 교과서 및 수학 익힘책과 2009 개정교육과정에 의한 중학교 수학 교과서 4종을 학년별로 선택하여 조사하였다. 패턴 일반화 문제의 특성은 크게 ‘경험적 특성’과 ‘상황적 특성’으로 나누어 분석하였다. ‘경험적 특성’을 분석하는 틀은 Ellis(2007)의 연구를 바탕으로 구성되었고 ‘상황적 특성’을 분석하기 위한 틀은 Radford(2006)의 관점을 바탕으로 구성되었다. 패턴 일반화 문제 유형을 분석하기 위한 분석틀은 Rivera(2010)의 연구를 토대로 연구자가 재구성한 것이다. 패턴 일반화 전략을 살펴보기 위해 서울시 강동구 소재 초등학교 6학년 학생 20명과 서울시 동작구 소재 중학교 2학년 학생 20명을 각각 선정하여 지필 검사를 실시하였다. 지필검사 문항은 Radford(2006)와 Rivera(2010)의 연구를 바탕으로 제작되었고 효과적인 전략 분석을 위해 연구자와 현장 수학 교사 2명이 코더로서 신뢰도 분석에 참여하였다. 지필 검사에 이어 학습자의 전략을 좀 더 명확히 분석해야 하는 사례는 따로 선별하여 개별 면담을 실시하였다. 면담 상황은 음성녹음 및 비디오 촬영되었고 그 후 전사 및 코딩 과정을 거쳐 분석되었다. 교과서 분석 결과는 다음과 같다. 첫째, 패턴 일반화 문제의 경험적 특성은 연계성이 부족했다. 초등학교 5학년 이전 과정에서는 ‘관계맺기’와 ‘검색하기’ 문제가 중점적으로 다루어졌고 ‘확장하기’ 문제는 중요하게 다뤄지지 않았다. ‘검색하기’와 관련하여 패턴 사이의 ’동일한 관계 및 과정 검색하기’ 문제는 초등학교 1, 2학년과 5, 6학년 사이를 제외하고 학년이 올라갈수록 점차 감소하는 경향을 보였으며 ‘동일한 패턴 검색하기’ 문제는 초등학교 4, 5학년과 6학년에서 중학교 1학년 사이를 제외하고는 점차 증가하는 경향을 나타냈다. ‘연속적 확장하기’는 초등학교 5학년 이전에는 거의 다뤄지지 않았으며 6학년 이후로는 각 학년에서 40% 이상 다뤄졌다. 한편 중학교 과정으로 전환하면서 ‘특정한 것들의 삭제를 통한 확장하기’를 경험하는 문제가 갑자기 출현하였다. ‘조작적 확장하기’는 중학교 2학년과 3학년 과정에서만 제시되었다. ‘정당화 문제’는 교과서에서 심도 있게 다뤄지고 있지 않았으며 그 중요성이 일관성 있게 강조되지 않고 있다. 둘째, 교과서에 제시된 패턴 일반화 문제의 ‘상황적 특성’을 분석한 결과 제시된 문제들은 제한적이었다. ‘사실적 패턴 일반화’의 특성은 초·중학교 전 학년에서 50%이상의 비율로 제시되어 있었다. ‘맥락적 패턴 일반화’의 특성은 ‘사실적’ 특정에 비해 교과서에 제시된 비율이 낮았으며 초등학교 저학년 과정과 5학년 과정 그리고 중학교 1학년 과정에서는 전혀 제시되지 않았다. 패턴 일반화 문제의 ‘상징적’ 특성은 초등학교 과정에서는 거의 나타나지 않았으나 두 수 사이의 대응관계를 학습하는 초등학교 4학년과 6학년 과정에서 잠시 소개되었다. 중학교 1학년 ‘문자와 식’ 단원을 기점으로 ‘상징적 패턴 일반화’의 특성을 가진 문제가 급증하였다. 셋째, 패턴 일반화 문제의 유형 또한 제한적이었다. 본 연구에서는 패턴 문제의 유형을 ‘시각적 패턴’ 유형과 그 외의 ‘기타’ 유형으로 분류하여 교과서 분석을 실시하였다. 그 결과 초등학교 2학년을 제외한 나머지 학년에서는 ‘기타’ 유형의 문제가 ‘시각적 패턴’ 유형보다 많이 나타났으며 ‘기타’ 유형 중에서는 수치적 패턴 문제가 가장 많이 나타났다. 중학교 과정에서는 ‘시각적 패턴’ 유형이 ‘기타’ 유형보다 비율 높게 나타났다. 한편 교과서에 제시된 모든 ‘시각적 패턴’ 유형의 문제들은 ‘잘 정의된 패턴’ 문제였으며 ‘모호한 패턴’ 문제의 유형은 전혀 다뤄지지 않았다. 중학교 1학년 과정에서는 ‘선형 패턴’과 ‘비선형 패턴’ 유형의 문제가 모두 나타났으나 그 외의 중학교 과정에서는 ‘비선형 증가 패턴’ 문제만이 제시되어 있었다. 초등학교 과정에서는 ‘선형 패턴’ 문제만이 다뤄졌다. 학생들의 패턴 일반화 전략을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 전략 사용에 있어 초등학교 6학년 학생들은 ‘수치적 전략’을 가장 많이 사용한 한편 중학교 2학년 학생들은 ‘시각적 전략’을 가장 많이 사용하였다. 전략을 사용하는 과정에서 ‘수치적 전략’ 또는 ‘시각적 전략’ 중 하나의 전략에만 지나치게 의존하는 경향을 나타내는 학생은 패턴을 일반화하는 올바른 대수식을 제시하지 못했다. ‘수치적 전략’에 지나치게 의존한 학생들은 유한차를 사용하여 패턴을 확장시켜 나갔는데 이는 높은 단계의 패턴을 구하는데 한계가 있었으며 특히 비선형 패턴을 일반화하는 과정에서 올바른 대수식을 제시하지 못하는 결과를 초래했다. ‘시각적 전략’에 지나치게 의존했을 경우에도 학생들이 패턴 모양의 변화에만 초점을 맞춰 패턴을 해석하여 패턴의 관계를 수치적으로 전환시키지 못하여 올바른 대수식을 제시하지 못했다. 따라서 ‘시각적 전략’과 ‘수치적 전략’이 적절히 혼합될 필요가 있음을 알 수 있었다. 둘째, 시각적 템플릿과 관련하여 초등학교 6학년 학생들은 ‘덧셈 템플릿’을 가장 많이 사용한 한편 중학교 2학년 학생들은 ‘곱셈 템플릿’ 또는 그것이 포함된 ‘실용적 템플릿’을 가장 많이 사용하였다. ‘실용적 템플릿’을 사용한 학생들은 ‘덧셈 템플릿’ 또는 ‘곱셈 템플릿’만을 사용한 학생들보다 패턴을 나타내는 올바른 대수식을 더욱 성공적으로 제시했다. 셋째, 초등학교 6학년의 경우 패턴의 구조적 단위를 ‘구성적’으로 일반화시킨 학생들이 가장 많았으나 반면 중학교 2학년 학생들은 ‘구성적’ 일반화 외의 다양한 방법으로 패턴을 일반화 시켰다. 결론적으로 본 연구를 통해 교과서에는 더욱더 다양한 특성을 가진 여러 유형의 패턴 일반화 문제가 제시될 필요가 있음을 알 수 있었다. 특히 패턴의 ‘사실적’ 상황에서부터 ‘상징적’ 상황까지의 연계성을 고려한 문제가 제시되어야 하며 ‘모호한 패턴’과 같은 반구성적 문제를 통해 스스로 패턴을 탐구하는 기회를 제공해 주어야 한다. 또한 패턴 일반화 학습에 있어 패턴을 시각적으로 여러 측면에서 쪼개서 분석하고 그것을 여러 단위로 해석할 수 있는 힘을 기르는 것이 패턴 학습의 핵심이 되어야 한다. 또한 패턴의 단위를 해석할 수 있는 지도가 필요성에 대해 다시 한 번 생각해 볼 수 있었다.