미분 개념에 대한 예비교사의 SMK 연구

Abstract

본 연구의 목적은 예비 수학교사들의 미분 개념에 대한 SMK의 특징과 그 하위 영역이 어떻게 형성되고 있는지에 대해 조사하고자 하는데 있다. 예비교사가 실제 수업 현장에서 다루게 될 내용을 고려하기 때문에 SMK는 중등학교 수준의 미분 개념이 된다. 교사는 가르치는 능력 뿐 아니라 수학 교과 내용 지식에 대한 정확한 이해가 바탕이 되어야 한다. 따라서 선행 연구를 바탕으로 예비교사의 SMK를 이해하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 예비교사의 미분 개념에 대한 교과 내용 지식(SMK)의 특징은 무엇인가? 2. 예비교사의 미분 개념에 대한 교과 내용 지식(SMK)의 하위 영역 구조는 어떻게 구성되어 있는가? 본 연구를 수행하기 위하여 서울시에 소재하는 E 대학교에서 수학교육을 전공하는 학생 중 해석학 수업을 수강하는 2학년 예비교사 28명을 대상으로 선정하고 11개 문항에 대하여 설문지 조사를 실시하였다. 보다 심층적인 분석을 위하여 6명의 연구 참여자를 선정하고 면담 조사지를 작성하여 7개 문항에 대해 풀이하게 한 후 면담 조사를 실시하였다. 그 결과, 예비교사는 미분가능성에 대한 정의가 미분 개념에서 중요한 것임을 알고 있음에도 수학적 용어를 사용한 표현을 부정확하게 사용하였고, 미분 정의에 대한 이해가 부족하였으며, 미분 가능성과 함수의 연속성을 혼동하는 모습을 보였다. 미분계수의 기하학적인 의미에서 접선의 기울기에 대한 정의의 이해는 92.9%로 높았으나, 접선의 그래프와 원함수의 그래프의 관계에 대한 문항에서는 오류가 발견되었다. 도함수의 계산에 관한 문제에는 능숙했으나, 도함수와 미분가능성에 대한 이해를 묻는 문항에서 오류를 발견하여 수정하는 것에 적절한 답을 선택하는 예비교사는 전체의 50%를 넘지 못했다. 극값을 판정하는 문제에서 그래프의 개형을 그리기 까다로운 명제에 대한 정답률이 낮았으며, 실생활과 관련된 문장제 문항에서 수학적 용어를 사용하여 풀이하는 과정에서 오류가 발생했다. 예비교사들은 미분 학습에서 미분가능성이나 순간·평균 변화율을 알고 있는 것이 중요하다고 생각하고 있었으며, 미분 개념을 단순히 식으로만 표현하지 않고 그래프와 함께 설명하였으나, 그래프의 종류가 한정 되어 있었으며 삼각함수나 지수·로그 함수 등의 다양한 함수의 예를 든 예비교사는 없었다. 미분의 실생활에 관련된 예시도 속도, 가속도에 관한 예를 주로 들었으며 다양한 의견이 부족했다. 이러한 교과 내용 지식에 대한 특징으로부터 예비교사들의 그 하위 영역 가운데 교육과정에 대한 지식을 알아야 되는 ‘수평 내용 지식’을 제외한 CCK와 SCK가 어떻게 구성되어 있는지를 알아보았다. 여기서 CCK는 가르치기 위해 사용되는 수학적 지식이나 기술이 아니라 문제를 풀거나 답을 계산하고 수학 문제를 바르게 풀이하는 지식이며, SCK는 교수를 목적으로 전형적으로 요구되지는 않는 수학적 지식이지만 교수를 위해서 교사가 이해하고 있어야 하는 고유한 수학적 지식과 기술을 의미하며, 알고리즘에 의존하지 않고 문제 풀이를 실생활 상황, 그림 모델, 기호적 표현과 연결하는 지식이다. 예비교사의 미분 개념에 대한 지식의 수준은 CCK를 주로 형성하고 있었으나, 능숙하지는 않지만 문항에 따라 단순히 문제를 풀이하는 것을 넘어서 실생활 현상이나 수학적 표현, 모델을 이용하여 SCK를 가지고 있다고 분류할 수 있는 예비교사도 있었다. SMK의 하위 영역을 구분하는 것은 쉽지 않았으며, 여러 가지 지식이나 경험이 부족한 예비교사를 대상으로 SCK를 확인하는 것은 쉽지 않았다. 그러나 수학적 지식이나 경험만이 SCK의 형성에 영향을 미치는 것이 아니라, 수학적 지식에 대해서 실생활 그리고 경험과 연관 짓고, 다양한 수학적 표현을 문제 상황에 적용해 봄으로써 CCK와 SCK가 함께 발전할 수 있는 연습이 될 수 있다. 따라서 예비교사의 SMK를 신장하기 위하여 그 하위 영역이 어떻게 구성되어 있는가를 파악한다면, 예비교사에게는 개념의 정확한 이해를 위한 노력과 자신의 오류나 오개념을 줄일 수 있는 기회를 제공함으로써 예비교사 양성을 위한 대학 과정의 수업 지도에 효율성을 줄 수 있을 것이다. 본 연구는 미분 개념에 대한 예비교사의 SMK의 특징을 알아보고 그 하위 영역이 어떻게 구성되어 있는지를 살펴보았다. 예비교사의 미분 개념 뿐 아니라 수학 교과의 다른 영역에서의 분석과 교과 내용 지식이 바르게 형성될 수 있도록 장기적인 연구가 필요할 것이다.;The purpose of this study is to find out characteristics and subordinate fields of preservice teachers' subject matter knowledge, hitherto be referred to as SMK in this paper, about the concept of differentiation. Since We targeted the contents of preservice teachers teaching in a real-life class, targeted SMK about differentiation is located at secondary school level. Teachers are required to equip themselves with not only lecturing skills but also accurate understanding about math SMK. In this regard, through this study we intended to seek answers of the questions below. 1. What are the characteristics of the SMK of preservice teachers about differentiation concept? 2. How are the subordinate fields of SMK of preservice teachers about differentiation concept structured? We conducted a survey consisted of eleven inquiries for the study targeting 28 preservice teachers majored in mathematics who were at their sophomore year in E university located in Seoul. For further analysis, 6 participants were chosen to join an interview and answer another questionnaire with seven inquiries for the interview. The research found that, although respondents were aware of the fact that the definition of differentiability is important in the concept of differentiation, they used related mathematical terms incorrectly, lacked understanding in the concept of differentiation, and confused differentiability with the continuity of function. Even though the vast majority, 92.9%, of respondents correctly understood the definition of the slope of tangent line in geometrical terms of differential coefficient, there were errors in inquiries about the relation between tangent graph and circular function graph. They were adroit at solving inquiries about derived function, but less than half of the total respondents answered correctly for inquiries that asked them to correct errors in the given situation about derived function and differentiability. About the extremum, only a small number of respondents gave the right answer for tough questions that asked them to draw a graph. Also there were some erroneous elucidation using mathematical terms in solving sentence-type inquiries related to real-life. Preservice teachers who participated in the research thought that understanding in differentiability, average and instantaneous rate of change was important in learning differentiation. Even though they were able to explain the concept of differentiation using both equations and graphs, types of graphs they adopted were limited and none of them used various functions as examples such as trigonometric function, exponential function, and logarithmic function. And their choices of real-life cases of differentiation were limited mainly citing speed and acceleration of a moving body. On the ground of these characteristics of preservice teachers' SMK, We looked into the status of the common content knowledge, hither to be referred to as CCK, and the specialized content knowledge, hither to be referred to as SCK, of preservice teachers except the horizontal subject knowledge that covers regular math curriculums. CCK is a knowledge that helps us to solve math questions correctly and is irrelevant to teaching. SCK is a specialized type of knowledge or skill for teaching which enables teachers to relate given inquiries with real-life situation, diagrams, and signs. The majority of participated preservice teachers' level of knowledge about differentiation stood at CCK. But some of them seemed to have moderate level of SCK since they adopted real-life phenomena or mathematical models in solving certain inquiries. It was not a simple task to categorize SMK nor to define SCK of preservice teachers as they did not have abundant experience and knowledge was a simple task. But mathematical knowledge and experience are not the only factors that can affect forming SCK. Relating real-life experience to mathematical knowledge and adopting various mathematical expressions to problematic situations will provide them with opportunities to improve CCK and SCK. Therefore, if we are able to figure out the subordinate fields of SMK to improve preservice teachers' SMK, we can give preservice teachers chances to reduce their fallacies and misunderstanding, and eventually boost the efficacy of university curriculum for nurturing preservice teachers. This study checked the characteristics and the subordinate fields of preservice teachers' SMK about differentiation. We believe it is necessary to conduct other long-term analytic studies in order to correctly establish preservice teachers' SMK in not just differentiation but other fields of mathematics.