학생들의 문제 만들기 활동 결과 구성된 수학 문제 유형 분석

Abstract

본 연구는 주어진 상황에 대하여 학생들이 만든 문제를 분석하여 유형을 구성한다. 그리고 그 특징을 살펴보고 학생들의 문제 만들기 실태를 분석함으로써, 수학과 교수ㆍ학습 과정에서 문제 만들기가 의미 있게 적용될 수 있는 방법에 대한 시사점을 얻는데 그 목적이 있다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 학생들은 문제 생성 활동 결과 어떤 유형의 문제를 구성하는가? 2. 학생들은 문제 변형 활동 결과 어떤 유형의 문제를 구성하는가? 문제 만들기를 문제의 형태가 아닌, 실세계 또는 수학적 상황을 바탕으로 수학 문제를 구성하는 ‘문제 생성’과 수학 문제의 일부를 변형하여 또 다른 수학 문제를 구성하는 ‘문제 변형’으로 분류하여 정의하였다. 연구 조사를 위해 문제 생성 상황 2문항, 문제 변형 상황 2문항으로 구성된 검사지를 개발하였다. 검사지 문항은 그래프 상황과 언어적 상황을 포함하고 있다. 경기도 소재 K 고등학교 1학년 1개 반과 서울 소재 E 고등학교 1학년 2개 반 학생 총 80명을 대상으로 설문을 실시하였다. 본 연구의 결과로부터 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 문제 생성에서 약 65% 이상의 학생들이 한 명당 평균 1.45개의 해결 가능한 문제를 만들었다. 문제 생성 유형은 크게 ‘수용’과 ‘조절’로 분류할 수 있다. 수용의 하위 유형으로는 ‘특정 정보 제시’와 ‘특정 정보 미제시’가 있고, 조절의 하위 유형으로는 ‘문맥 변경’, ‘조건 변경’, ‘가정 변경’, ‘정보 추가’가 있다. 학생들이 구성한 문제를 분석해 보면 그래프 상황은 ‘수용’, 언어적 상황은 ‘조절’을 통해 만들어진 문제가 많았다. 둘째, 문제 변형에서 약 53% 이상의 학생들이 한 명당 평균 1.17개의 해결 가능한 문제를 만들었다. 문제 변형 유형은 ‘단순화’, ‘대체’, ‘확장’으로 분류할 수 있다. 단순화의 하위 유형은 ‘수학적 구조 단순화’와 ‘조건 단순화’이고, 대체의 하위 유형은 ‘동형 문제’와 ‘문맥 대체’이다. 확장의 하위 유형은 ‘수학적 구조 확장’과 ‘조건 확장’이다. 학생들이 구성한 문제를 분석해 보면 그래프 상황은 ‘확장’, 언어적 상황은 ‘단순화’ 또는 ‘대체’를 통해 만들어진 문제가 많았다. 전체 연구 대상의 절반이상의 학생들이 문제를 만들 수 있었고, 문제 변형보다 문제 생성을 통한 문제 만들기를 수행한 학생수가 많았다. 이는 기존 교과서에서 주로 제시하는 문제 변형 문항 외에 문제 생성 문항을 제시하였을 경우에도 학생들이 충분히 문제를 만들 가능성이 있다는 것을 의미한다. 또한 문제 생성인지 문제 변형인지에 따라, 학생에 따라 사용하는 문제 만들기 유형이 다르다. 다양한 유형을 사용하여 문제를 구성하는 활동은 학생들의 문제 해결 능력뿐만 아니라, 창의성을 길러준다. 그러므로 주어진 상황에 대해 여러 가지 유형을 활용하여 문제를 만드는 활동을 통해 다양한 사고를 유도할 수 있는 교수ㆍ학습 방법이 필요하다. 상황을 수용하거나 단순화하여 문제를 구성한 학생에게는 확장하여 문제를 구성하는 도전적 자세를 기르도록 수업을 구성하고, 상황을 조절하거나 확장하여 문제를 구성한 학생에게는 기본 개념을 정확히 인지하고 있는지에 대한 확인이 가능한 수업이 구성되어야 한다. 그래프 상황과 언어적 상황을 비교하였을 때, 그래프 상황에서 약 83% 이상의 학생들이 한 명당 평균 1.47개의 해결 가능한 수학적 문제를 만들었다. 언어적 상황에서는 약 53% 이상의 학생들이 한 명당 평균 1.09개의 해결 가능한 수학적 문제를 만들었다. 즉, 언어적 상황에 비해 그래프 상황을 통해 더 많은 학생이 더 많은 문제를 만들었다. 그래프 상황은 비교적 쉽게 수학적 구조를 파악하기 쉽고, 언어적 상황은 어의적 요소를 통해 수학적 구조를 찾고 이를 다시 문제 만들기에 적용해야하는 복잡한 추론과정을 거친다. 또한 시간의 제한 등과 같은 환경이 문제 만들기에 영향을 끼칠 수 있다. 이처럼 여러 가지 요소로 인해 상황에 따른 문제 만들기 결과에 차이가 있을 수 있다. 다양한 상황에서 학생들이 유의미한 문제를 능숙하게 구성할 수 있도록 교수ㆍ학습 환경을 구성할 필요가 있다.;The purpose of this study is to identify the kinds of problems students pose when they are asked to generate problems from given situation and reformulate new problems from ones given to them. There are the two forms of problem posing: problem generation and problem reformulation. An understanding of the factors that students' problem posing is important because of its implications for teaching and learning in mathematics. It is necessary for students to have the opportunities to generate and reformulate problems by themselves to improve problem solving ability, and to emphasize mathematical modeling and the use of real world problems. For these purpose, the research questions were established as follows: 1. What is the problem generation classification posed by students? 2. What is the problem reformulation classification posed by students? To investigate students' problem posing, a survey was done on 80 high school students and the survey results were coded and analyzed afterward. Students completed a questionnaire which involves four problem posing instruments, two for problem generation and the others for problem reformulation. The questionnaire has the situations of 'Graph' and 'Word'. I developed a classification scheme based on previous references and categorized the problem posing statements. The results through the analysis were as the follows. First, after the activities of problem posing, over 65% of the students could make 1.45 problems per person using problem generation. The classification of problem generation consists of two categories: 'Accepting' and 'Challenging'. 'Accepting' is comprised of two factors-specific information, non-specific information. And 'Challenging' is comprised of five factors-changing context, changing condition, changing assumption, Adding information. Second, after the activities of problem posing, over 53% of the students could make 1.17 problems per person using problem reformulation. The classification of problem reformulation consists of three categories: 'Simplification', 'Substitution' and 'Extension'. Each category is comprised of two factors-mathematical structure and condition. Especially, 'Substitution' has changing context and isomorphic problem. The finding indicates that when the situations were given, the students had more success when asked to generate their own problems than asked to reformulate them from ones given to them. And they posed a greater number of statements using problem generation than through reformulation. Also, The situations of graph were easier than word for students to pose problems. There was significant difference to use the factors of classification when the situations were given. For teaching and learning, various situations are needed to improve problem posing ability. The results obtained in this study indicates students are willing to pose mathematical problems and have the possibility to do so. but there were some limits to use various types of the classification. Therefore, problem posing experiences using diverse forms are needed.