고등학교 극한 개념에 대한 교사와 학생의 은유 유형 분석

Abstract

어떤 이름이나 서술적 용어를 글자 뜻 그대로 적용할 수 없는 대상에 적용하여 의미를 만들어 내는 것을 일반적으로 ‘은유’라고 한다(우정호, 2005). 학습하는 과정에서 은유는 학습자들이 개념을 이해하는 데 도움을 주기도 하고, 심각한 오해를 불러일으키기도 한다(김상미, 2005). 학습자마다 다양한 종류로 은유가 나타나는데, 서로 다른 영역의 은유는 개념을 형성하는 데 서로 다른 의미로 나타났다.(우정호, 2005) 교사가 지도하는 과정에서 나타나는 은유가 학생들에게 어떤 개념이미지를 생성하게 되는지, 그 은유가 학생들에게 어떤 오해를 불러일으킬 수 있는지 정확히 알고 사용해야 할 필요성으로 이 연구가 이루어졌다. 다양한 수학의 영역 가운데 우리나라 교육과정상에서 대수 영역과 해석 영역을 연결하는 극한 개념을 중심으로 은유에 대한 분석을 해 보았다. 처음 극한을 배우는 학생들에게 생소한 개념을 이해하려는 과정에서 직관적인 사고가 많이 일어나게 되어 은유가 빈번하게 사용되며 이때 사용된 은유가 이후에 미분과 적분의 개념을 이해하기 위한 초석이 된다는 중요성으로 극한이라는 단원을 분석하고자 하였다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구문제 1. 고등학교 수학교사들이 극한의 개념에 대하여 가지고 있는 은유 유형과 특징은 무엇인가? 연구문제 2. 수열, 미분, 적분 등 서로 다른 영역에서 교사가 가지는 극한의 은유 유형 사이에 상관관계가 있는가? 연구문제 3. 교사가 가지고 있는 극한의 은유 유형과 그 교사가 지도한 학생들의 은유 유형은 서로 일치하는가? 이러한 연구 문제를 해결하기 위해 개발된 문항지는 수렴하는 수열, 발산하는 수열, 기하, 미분, 적분과 연결된 다양한 은유를 살펴볼 수 있는 극한의 다섯 문항으로 구성되었다. 고등학교 수학 교사를 대상으로 문항지를 배부하고, 46명으로부터 수거하여 어떤 유형의 은유를 사용하는지 Oehrtman(2009)의 분류 기준을 적용하여 분류하였다. 그리고 분류한 은유 유형간 상관관계를 파악하기 위하여 교차분석을 실시하였다. 46명의 응답한 교사 중 5명을 선정하여 극한에 대한 은유를 재확인하기 위한 인터뷰를 진행한 후, 그들이 지도한 학생들에게도 문항지를 배부하여 교사와 학생이 가지고 있는 극한에 대한 은유 유형이 얼마나 일치하는지 분석하였다. 이와 같은 절차를 거쳐 분석한 결과를 연구문제 순으로 정리하면 다음과 같다. 첫째, 극한에 대한 교사들의 은유 유형을 살펴본 결과, 붕괴 은유(collapse metaphor), 참값의 범위로 나타난 은유(approximation metaphor), 군집한 점들로 파악한 근삿값 은유(proximity metaphor), 무한을 수처럼 산술 조작하는 은유(infinity as number metaphor), 물리적 조작의 은유(physical limitation metaphor)의 다섯 가지 유형으로 분류하였다. 이 유형들은 수열, 기하, 미분, 적분과 같은 서로 다른 수학적 영역에서 확연히 다른 비율로 나타났다. 이것으로 교사들이 학생들을 지도할 때에도 다양한 유형의 은유가 나타날 수 있다는 가능성을 보여주었다. 둘째, 교사의 수학 영역별 극한 은유 유형은 다양하게 나타나는데, 그 사이의 상관성을 알아보기 위한 교차 분석을 시행해 보았다. 그 결과, 미분에 대한 극한의 은유 유형과 발산하는 수열, 기하, 적분에 대한 극한의 은유 유형이 높은 상관성을 갖는다는 것을 확인할 수 있었다. 이것은 미분과 관련된 극한 개념에 대한 은유를 적절하게 활용하는 것이 다른 영역에 대한 극한의 개념에 대하여 사용하는 은유에 영향을 끼칠 수 있음을 의미한다. 셋째, 교사와 학생 간 극한의 은유 유형의 일치도가 높은 경우는 두 가지의 경우가 있다. 먼저, 수학적 정의 자체에 극한에 대한 은유가 반영되어 있을 때로 나타났는데 이것은 학생들이 배우는 과정에서 정의와 함께 은유가 제시되어 받아들이는 것으로 보았다. 그리고 구체적인 물리적 조작 상황을 제시하는 은유를 사용한 경우에 교사와 학생 간 극한의 은유에 대한 일치성이 높게 나타났다. 이것은 학생들이 추상적인 극한 개념에 대하여 지식을 구성하는 과정에서 교사의 극한에 대한 개념 지도와 더불어 특정한 구체적 이미지까지 같이 제시하여 학생들이 개념을 구체화 하는 과정에서 그것을 그대로 받아들이는 것으로 보았다. 결론적으로 교사에게 나타난 다양한 극한의 은유 가운데 미분과 관련된 극한의 은유 유형이 다른 영역과 관련된 극한의 은유 유형과 높은 상관성이 있는 것으로 나타난 것은 미분과 다른 영역 사이에 극한에 대한 은유가 개념을 형성하는 데 영향을 끼친다는 것으로 해석할 수 있었다. 또한 교사가 학생에게 극한을 지도할 때, 영향력이 높은 은유 유형을 적절히 사용한다면 극한 개념을 학습하는 학생들에게 도움을 줄 수 있을 것이다. 교사가 사용하는 극한에 대한 은유는 학생들에게 바로 영향을 주지는 않지만 극한 개념을 구성하는 데 장기적으로 서서히 영향을 끼칠 가능성이 있다는 점에서 이 연구는 의미를 갖는다. 앞으로 학생들에게 오개념을 최소화할 수 있는 구체적이고 세부적인 은유에 대한 연구가 이루어진다면 교사들이 극한을 지도할 때 중요한 지침이 될 것으로 기대한다.;A ‘Metaphor’ is represented as a typically ‘making a meaning’ which is applied on some names or descriptive terminologies; not literally applicable. (Woo, 2005) In learning processes, students are able to archive and understand mathematical concepts or be led to misunderstand with metaphor (Kim, 2005). Every student has their own metaphor and it presented a variety of views with their styles. Its concepts on metaphors developed by each learners has not the same meanings each other on different areas (Woo, 2005). This study investigated students’ metaphysical concept images that guided by teachers’ metaphor usages on their lectures and categorized its metaphor clusters. The incorrect use of metaphors in teaching can lead to misapprehend, teacher’s metaphors are needed to be studied and conceptualized precisely. This study analyzes ‘Algebra’ and ‘Limit’ which is related with analytics among various mathematical domains depending on curriculums in Korea. At the first stage of the learning processes, students who have no experiences on limit develop to intuitive thinking for conceptualizing its idea and Metaphors are used frequently. In this perspective, this study explored metaphors of limit which can lead students to build their comprehension of differentiation and integral calculus. There are three Research questions. 1. What kind of metaphor clusters on limit are formed to teachers in high school? 2. Each metaphor clusters developed by teachers are correlated with each other among different domains; sequence, differentiation, integral calculus etc 3. Does the metaphor clusters are corresponded between a teacher and his/her students guided by the teacher’s method. To identify students’ and teachers’ metaphors for limit concepts, I conducted out a survey in variable metaphor clusters based on a convergent series, divergent series, geometry, differentiation and integral calculus. I gained data from 46 teachers in high school, analyzed its data with findings of Oehrtman(2009) and classified metaphor clusters. From the respondents, 5 teachers participated in additional interviews to reconfirm their metaphor on limits. Some students of interviewee are also participated in surveys with the same question. I carried out cross-check and analysed that ‘how their metaphor clusters are possibly similar between teachers and their students’. (a) These metaphor clusters are represented in diversified among different domain of mathematics; sequence, geometry, differentiation, integral calculus and so on. It implies that teachers use variable metaphors to deliver a lecture to students. (b) It was shown to Crossover correlated analysis of teachers’ metaphor clusters toward mathematical domain including divergent series, geometric and integral calculus are highly correlated with metaphor clusters on limit concept. Depending on results, effective uses of limit’s metaphors affect to another metaphors with limit concepts upon different domains. (c) Only in cases that limit metaphor was applied to its mathematical definition or well-organized and detailed operations were given, limits metaphor clusters between teacher and students are highly corresponded and matched each other. In conclusion, the teacher’s metaphor clusters of differentiation on limit are only correlated with another metaphor on different mathematical domains on limits. Briefly, metaphors of limit influence developing metaphors and conceptualizing idea on different mathematic domains. Beside, teachers can use effective metaphor clusters highly to improve students’ comprehension about limit idea in classes. This research presents reasons that teaching–studying method with metaphor can possibly be advanced detailed and comprehensive method.