중등학교의 단위교육에 대한 고찰

Abstract

초중등 수학에서 실생활 맥락의 문제가 강조되고 있으며, 이러한 문제들은 대개 답에서 그 숫자가 단위를 수반하는 경우가 많다. 다양한 맥락이 존재할 수 있는 만큼 다양한 단위가 존재할 것이며, 새로운 단위에 대한 학습자의 부담은 커질 수밖에 없다. 이에 본 연구는 중등학교 과정에서 단위교육이 어떻게 이루어지는지 교과서를 중심으로 살펴봄으로써 학생들이 단위에 대해 어려움을 겪는 이유를 생각해보고, 단위연산에 대한 학습 효과를 증진시킬 수 있는 방법을 찾고자 하였다. 이 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 중등 수학교과의 단위교육에 대한 실태는 어떠한가? 2. 중등 수학교과에서 학습자가 단위 사용에 자신감을 갖게 할 수 있는 대안으로 어떤 것이 있는가? 한 개 이상의 문자로 이루어진 열을 문자열이라 하고, 어떤 문자가 한 개의 숫자를 상징할 때, 이 문자열을 수문자열(numeric string)이라 한다. 수학에서는 문자 한 글자에 하나의 숫자가 대응하기 때문에 수문자열을 사용하지 않지만, 물리, 화학, 통계학 등에서는 자주 등장하게 된다. 단위에는 g, m처럼 하나의 문자로 이루어진 단위도 있지만, ㎏, ㎏중, ㎭/s과 같이 여러 개의 문자가 하나의 단위를 의미하거나, 단위의 곱과 몫에 의해 새로운 단위를 만들어 내기도 하는데 단위는 수문자열처럼 하나의 이름을 의미한다. 또한, 돈의 단위 ‘원’, 사람의 단위 ‘명’과 같은 기본단위로부터 필요에 의해 ‘천만 명’, ‘억 원’과 같이 새로운 단위가 만들어지기도 한다. 본 연구에서는 교과서 분석결과와 그에 따른 제안점을 다음과 같이 세 가지로 요약할 수 있다. 첫 번째, 동류항의 합·차와 단위와의 관련성이다. 중등학교 수학교과서에서 수문자열에 대한 동류항의 합과 차를 다루는 교과서는 하나도 없었으며, 동류항 지도에서 문자를 도입하기 전에 익숙한 단위를 사용해서 지도하거나, 단위와 관련하여 동류항 지도를 설명하는 교과서 또한 찾을 수 없었다. 수학에서는 함수 이름을 제외하고 수문자열을 다루지 않지만, 타교과에서 수문자열을 접할 수 있기 때문에, 수문자열에 대한 소개와 수학과 타과목에서 문자의 차이에 대해 간단히 언급해줘야 할 것이다. 또한, 동류항의 지도에서 익숙한 단위로 문자를 대신해서 동류항을 지도할 수 있으며, 수와 식의 학습 후에는 단위를 문자처럼 인식하여 동류항의 합·차와 같은 방법으로 단위의 합·차를 지도하기를 제안한다. 단위를 문자처럼 인식할 수 있다면, 문자가 다른 두 항을 합할 수 없는 것처럼 단위가 다른 두 항을 합할 수 없음을 쉽게 알 수 있다. 가령, 3㎝+4㎠에 대해 간단히 계산할 수 없는 값임을 알게 된다. 두 번째, 단항식의 곱·몫과 단위와의 관련성이다. 중등학교 수학교과서에서 수문자열의 곱과 몫에 의해 만들어진 동류항의 합과 차를 다루는 교과서는 하나도 없었다. 단위의 곱과 몫에 의해 새롭게 만들어진 단위의 예를 꽤 많이 소개하고 있었으나, 단위연산에 의한 단위계산법은 서술하고 있지 않았다. 초등수학에서는 문자의 곱과 몫을 배우기 이전이므로 암기에 의해 단위를 적용할 수밖에 없겠지만, 수와 식의 학습 이후에는 단위연산과 문자의 연산을 동일하게 생각하여 계산하는 방법을 제안한다. 가령, 초등학교에서 넓이의 단위는 ㎠라고 지도한 것에 대해 중등학교에서는 ㎝×㎝=㎠를 알려주어 단위의 이해를 도와줄 수 있다. 또한, 속도의 단위는 ㎞/h, 즉, (속도의 단위)=(거리의 단위)÷(거리 단위) 이므로 이 되는 것과 같이 단위에 의한 공식의 유추를 가능하게 해줄 수 있다. 단위연산에 의한 단위학습은 학습자의 부담감을 덜어주고, 교과서에서 단위의 곱과 몫에 의해 새롭게 생기는 단위에 대한 설명을 조금 더 친절하게 서술해준다면 학습자는 새로운 단위에 대해 더 편안하게 받아들일 수 있을 거라 추측한다. 세 번째, 실생활 문제와 단위와의 관련성이다. 중학교 1학년과 3학년의 실생활 문제에서 ‘변형보편단위’와 단위의 곱과 몫에 의해 새롭게 만들어진 단위의 예를 찾을 수 있었다. 중학교 1학년은 27종 중에서 16종, 중학교 3학년은 14종 중에서 3종만이 이러한 예에 대해 다루었으며, 분산의 단위를 올바르게 제시한 교과서는 하나도 없었다. 중등학교 수학교과서에서 좀 더 다양한 ‘변형보편단위’를 사용한 예와 곱과 몫에 의해 생기는 새로운 단위의 예를 실생활 맥락에서 보여주며, 문제에서 제시된 단위에 대해 맥락 안에서 단위를 해석하여 서술할 것을 제안한다. 또한, 분산과 표준편차의 단위에 대해, “표준편차의 단위는 변량의 단위와 같다.”는 것을 제시한 것처럼 “분산의 단위는 변량 단위의 제곱과 같다.”는 것을 제시해 주고 그렇기 때문에 산포도로 분산보다는 표준편차를 더 많이 사용한다는 것과 분산과 평균을 함께 연산할 수 없다는 것을 알려줄 수 있다 또한, 문자와 식에서 동류항의 계산처럼 단위도 문자로 인식하여 단위가 같아야지만 더하거나 뺄 수 있다는 사실을 안다면, 식 세우기를 사용하는 응용문제에서 단위가 힌트로 역할을 할 수 있는데, 중등학교 수학교과서에서 이러한 내용을 외형적으로 서술한 풀이는 찾을 수 없었다. 본 연구에서는 교과서 분석을 중심으로 현행 교육과정의 단위교육을 알아보았으나, 교과서 분석만으로는 단위교육 전체의 실상을 알 수 없다. 또한, 본 연구에서 제안한 몇 가지 방안들은 이론에 근거한 분석의 일부이므로 그 효과에 대해 추측일 뿐이며, 후속연구로 현재 암기에 의존하는 단위교육을 중등수준에서는 수식의 계산을 활용한 지도 방식으로 전환할 수 있는지 실증적인 추가 연구를 제언한다.;The problems related with a real life is being emphasized in mathematics of elementary and middle school level. In many cases, numbers are accompanied by units in solutions. There can be as many units as various contexts, therefore, the burdens to learn new units will become heavier. Therefore, this study aims to find out the reason students have difficulty in learning units and find a way to improve the effect of learning unit operations by examining how units are taught in the curriculum of middle school concentrating on textbooks. For the purpose of this study, the subjects for inquiry are selected as follows. The reality of teaching units in math curriculum of middle school and if there is an alternative which will enable students to gain confidence in using units in math curriculum. An array composed of more than on character is called string. If a certain character represents one number, this string is called numeric string. Since one number corresponds to one character in mathematics, numeric string is not used. However, it is frequently used in physics, chemistry, and statistics. There are units composed of one character such as 'g' or 'm' but there are also cases that multiple characters such as ㎏, ㎭/s indicate one unit or multiplication or quotient of units make new units, which mean one name as a numeric string. In addition, new units such as '10 million person' or '100 million won' are made from basic units such as 'won', the unit of money, or 'person' the unit of man according to the needs. In this study, the results of textbook analysis and suggestion are summerized as three points as follows. First, the relation between units and sum/difference of similar terms. There is no middle school textbook for mathematics which deals with sum/difference of similar terms about numeric strings, and there is no textbook which gives guidance by using familiar units before introducing characters for teaching similar terms, nor is textbook which explains similar terms in relation with units. In mathematics, numeric strings are not dealt with except for names of functions. However, it is needed to introduce numeric strings and briefly explain the difference of characters between in mathematics and other subjects. In addition, guidance for similar terms can be provided by replacing characters with familiar units and it is suggested to guide sum/difference of units in the same way as sum/difference of similar terms, considering units as characters after learning numbers and expressions. If it is possible to recognize units as characters, it can be easily noted that two terms of different units can not be summed just as two terms of different characters can not be summed. For example, it is found out that the value of 3㎝+4㎠ can not be simply calculated. Second, the relation between units and product/quotient of monomials. There is no middle school textbook for mathematics which deals with sum/difference of similar terms made by product/quotient of numeric strings. Some examples of new units made by product/quotient of units are introduced quite a lot but unit calculation methods by unit operation are not explained. In mathematics in elementary school, students have not yet learnt product/quotient of characters, so they have no choice but to apply units by memorization. However, after they learn numbers and expressions, the calculation method by which unit operations and character operations are considered same is suggested. For example, the unit of area is taught as ㎠ in elementary school, but the understanding of units can be extended when teaching ㎝×㎝=㎠ in middle school. In addition, the unit of speed is ㎞/h. In other words, (the unit of velocity)=(the unit of distance)÷(the unit of time), therefore (velocity) = (distance) ÷(time) is found out. Likewise, a formula can by inferred from units. Learning units through unit operation lightens the burden of learners and it is supposed that learners will be able to accept new units if the explanation for units which are newly made by product/quotient of units. Third, the relation between units and a real life Examples of 'transformational universal unit' and units which are newly made by product/quotient of units are found in exercises related with a real life in textbooks for middle school students of first and third grade. Only 16 textbooks of 27 kinds of textbook for first graders and only 3 textbooks of 14 kinds of textbook for third graders deal with these examples, but there is no textbook which correctly provide the unit of variance. It is suggested that examples of various usages of 'transformational universal unit' and units which are newly made by product/quotient of units should be provided in the context of a real life and units should be described by interpreting units given in exercises considering the context. In addition, as it is presented about the units of variance and standard deviation that "a unit of standard deviation is the same as a unit of variable," it can be instructed that "a unit of variance is the same as the square of a unit of variable," and thus, standard deviation is used more than variance as a measure of dispersion and variance and average cannot be calculated together. Lastly, the relations between units and application problems If students know that units should be considers as characters and they can be added or subtracted only when they are the same units like the calculation of similar terms in characters and expressions, units can play a roles as a hint in application problems in which making expressions is used. However, there is no such solution that provides external explanation about this. Since several methods suggested in this study are only parts of analysis based on theory, additional positive study is proposed as a follow-up study to examine whether it will be possible to change teaching units relying on memorization to providing guidance using calculation of formulas in middle school level.