수학적 연결성 관점에서의 고등학교 수학 교과서 분석

Abstract

수학 교과서는 학교 수학이라는 변형된 지식을 담아 간직하는 전형적인 방법 의 하나로(강완, 1991), 교육과정이 개정됨에 따라 개발된 교과서에는 각 시기별로 강조하는 교수학적 원칙과 철학, 그리고 교육목표에 맞춘 수학 내용이 조직되어 있다고 볼 수 있다. 2014년 시행 예정인 2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 핵심은 학년간·교과간 연계성 강화이다. 따라서 이 교육과정에 따라 새로이 개발될 교과서에는 이전 교육과정의 교과서보다 수학 내적·외적 연결성을 충분히 고려하여 내용이 조직될 것으로 예상할 수 있다. 여기서 수학 내적 연결성은 수학 개념(지식) 사이의 상호 관계를 이해하고 수학을 통합적으로 이해하는 것을 의미하며 수학 외적 연결성은 수학 교과 외의 문맥이나 일상생활에 내포한 수학 개념을 인식하고 활용하는 것을 의미한다(NCTM, 2000). 수학적 연결성에 대한 목표는 2007 개정 교육과정에서도 강조한 바 있다. 2007 개정 교육과정의 목표는 학년간, 학교급간 연계성 강화, 실생활 및 다른 교과 학습과 수학 교과와의 연계성 강화이다(교과부, 2008). 한편, 복소수는 대수학과 해석학, 기하학, 정수론 등 여러 분야의 수학 영역 내 문제를 해결을 가능하게 하며(Kleiner, 1988)수학 영역 외에 물리학 분야, 공학 분야 설계, 예술 분야 등 다양한 분야에서 활용되고 있어 수학 내·외적으로 풍부한 연결성을 가진 개념이다. 따라서 본 연구에서는 수학적 연결성 관점에서 2007 개정 교육과정에 따른 『고등학교 수학』교과서를 분석하였으며, 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1) 2007 개정 교육과정에 따른 『고등학교 수학』교과서의 복소수 단원에서 수학적 연결성은 교과서별, 연결성 유형별로 어떻게 나타나고 있는가? 연구문제 2) 2007 개정 교육과정에 따른 『고등학교 수학』교과서의 복소수 단원에서 수학적 연결성을 활용한 내용은 어떤 특징을 가지고 있는가? 위 연구문제를 해결하기 위해 먼저 수학적 연결성 유형별 분류를 위한 분석 준거를 설정하고 이를 기준으로 첫 번째 연구문제인 복소수 단원 내용에서 나타나는 수학적 연결성의 사례를 유형별로 정리하였다. 그리고 두 번째 연구문제에서는 수학적 연결성 사례를 중심으로 복소수 단원의 특징을 살펴보았다. 이때 복소수가 학교수학에서 가지는 중요성에 근거하여 수학적 연결성 사례의 적절성을 분석하였다. 세 번째 연구문제에서는 복소수 단원에서 나타나는 수학적 연결성의 사례를 교과서별로 정리하였다. 그리고 이 과정에서 교과서별로 수학적 연결성을 활용하는 수준을 파악하고자 하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 연구문제 1의 결과, 복소수 단원에서 나타나는 수학 내적 연결성과 수학 외적 연결성 사례에서 차이가 있었다. 교과서에서는 외적 연결성보다 내적 연결성을 1.65배 정도 더 많이 활용하고 있었다. 수학적 연결성 유형별로 분석한 결과 개념 연결을 주로 활용하고 있었으며 교과 연결은 충분히 활용되지 않고 있었다. 또한 교과서별 수학적 연결성 활용 정도를 비교한 결과 수학적 연결성 평균에는 차이가 없었으나 연결성 유형별로는 차이가 있는 것으로 나타났다. 연구문제 2의 결과, 도입부분에서 수학사를 주제로 한 문맥 연결 사례가 가장 높았다. 전개부분에서는 개념 연결의 사례가 가장 많이 나타났다. 구체적으로, 개념적 지식보다 절차적 지식에서 수학적 연결성을 2.25배 많이 활용하고 있었으며 특히 복소수의 연산에서 개념, 표현, 교과, 문맥 연결 사례를 모두 찾을 수 있었다. 복소수가 학교수학에서 가지는 중요성에 근거하여 수학적 연결성 활용 사례를 분석한 결과 학생들이 복소수를 수로 인식하는데 방해가 될 수 있는 표현연결의 사례와 이차방정식과 복소수의 관련성이 충분히 반영되지 않은 개념연결의 사례를 찾을 수 있었다. 본 연구를 토대로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있었다. 첫째, 수학 내적 연결성과 외적 연결성을 균형 있게 활용해야 한다. 특히 복소수 단원에서는 개념적 지식보다 절차적 지식에 수학적 연결성을 많이 활용하고 있었으며, 주로 방법적 알고리즘에 대한 연결성이 집중적으로 나타나고 있었다. 이러한 결과의 원인은 연계성이라는 수학의 특성 때문일 것으로 추측된다. 그러나 연계성은 이전 지식에 대한 학습이 부족한 경우 새로운 지식을 습득하는데 장애가 되기도 한다. 따라서 각기 다른 배경지식과 이해수준을 가진 학생들에게 효과적인 학습을 지도하기 위해서는 내적 연결에만 집중하는 것보다 한 개념에 대하여 다양한 유형의 연결을 활용할 필요가 있다. NCTM(2000)의 수학적 연결성 목표가 수학적 아이디어 사이와, 통합적인 구조를 이해하는데 있다는 점에서 절차적 지식과 개념적 지식에서 수학적 연결성 활용의 조화가 필요하다. 둘째, 수학적 연결성을 활용할 때는 연결의 정확성 측면과 다회성(강화) 측면에서의 검토가 선행되어야 한다. 수학적 연결성이 정확하게 이루어지지 않은 경우 학생들은 복소수를 수가 아닌 실수에 문자가 합해진 꼴이라고 생각하거나, 실제로 존재하지 않는 수로 인식하였다(박재근, 2007; 박선호, 2011). 한편, 복소수에서 나타나는 개념 연결의 사례는 이미 학습한 개념(A)과 새로운 개념(B)이 일대일 대응인 경우가 대다수였다. 이미 학습한 개념을 활용한 경우 일회적 언급으로 마무리되었으며 이후 등장하는 개념(C)에서는 다른 유형의 연결을 활용하여 설명하고 있었다. 이 경우 학생들은 A와 C, B와 C의 관계를 스스로 인지하기 어렵게 된다. 수학적 연결성이 각 개념들을 통합적으로 바라보는 시각을 제공함으로써 학습량을 경감시키는 역할(교과부, 2008)을 한다는 점에서, 이미 학습한 개념과 새로 학습할 개념들이 일대 다 대응으로 연결될 수 있는지를 고려하여 수학적 연결성의 질적인 향상을 추구해야 한다. 연구의 제언점은 다음과 같다. 첫째, 교과서 저자들은 본문에 제시된 내용과 연결성 있는 개념 및 소재를 다양하게 활용하여 해당 본문의 주요 개념을 지도할 수 있도록 구성해야 한다. 또한 수학적 연결성은 수학 학습에서 지식을 이해하고 문제를 해결하는데 중요한 수단이나 부적절한 연결성은 오히려 오개념을 유발할 가능성이 있으므로, 이러한 연결이 정확하며 학생들에게 제대로 의미가 전달될 것인지를 검토해야 한다. 둘째, 교사가 학문적 배경에 대한 이해를 바탕으로 수학적 연결성에 의한 수학적 아이디어들의 관련성을 이해할 수 있도록 지도한다면, 학생들은 수학에 대한 흥미를 가짐과 동시에 심화된 수학적 이해를 할 수 있다(정영우 외, 2011). 연결성을 강조한 수업이 진행되기 위해서는 교육과정 차원에서도 수학적 연결성에 중점을 둔 교육과정 구성 및 학습 자료를 제공할 필요가 있다(유윤재, 2008). 교육과정 개발자는 수학적 연결성을 고려하여 교육과정을 구성하고, 교사는 교육과정의 의도를 파악하여 지도할 때 학생들은 수학을 보다 깊이 이해할 수 있을 것이다. 셋째, 후속 연구자들은 본 연구의 복소수 단원뿐만 아니라 수학익힘책 문제 혹은 타 단원 등 연구 대상을 다양화하여 수학적 연결성 활용 정도와 그 특징을 살펴보는 것도 의미 있을 것이다.;The textbook on mathematics is the one of the methods that contains and stores the transformed knowledge called school mathematics(Kang wan, 1991). It can be regarded that the depagogical principle that is emphasized for each period and the contents of mathematics that is tuned with the objective of education are well-organized in the textbooks that are revised according to the curriculum. The key point of mathematics and curriculum that follows the revised curriculum in 2009 is the enhancement of connectivity between grades and subjects. So, it can be forecasted that the contents are organized by considering the internal & external connectivity of mathematics rather than those of previous curriculum in the textbooks that will be developed newly according to such curriculum. The internal connectivity of mathematics means the understanding of the correlation between mathematical concepts (knowledge) and the integrated understanding of the mathematics and the external connectivity of mathematics means the recognition and utilization of mathematical concept that are contained in the context or daily life rather than the subject of mathematics(NCTM, 2000). The objective of mathematical connectivity was emphasized once in the revised curriculum of 2007. The objective of the revised curriculum of 2007 is the enhancement of connectivity between grades and subjects and the enhancement of connectivity between the learning in daily life & other subjects and the subject of mathematics.(Ministry of Education, Science & Technology, 2008) While, as the complex number enables the solution of problems within mathematical territory in various fields such as algebra, analysis, geometry and number theory, etc.(Kleiner, 1998) and it is used in various fields such as physics, engineering design and arts other than mathematical field, it is the concept that has affluent connectivities in internal & external respect of mathematics. So, the textbooks 『Highschool mathematics』that observe the revised curriculum of 2007 were analyzed in mathematical respect of connectivity and the research problems as follows were set in this paper. This study set up following questions: Problem 1) How does the mathematical connectivity appear for each textbook and each type of connectivity in the unit of complex number in the textbooks 『Highschool mathematics』that observe the revised curriculum of 2007? Problem 2) Which characteristics does the contents that utilize the mathematical connectivity in the unit of complex number in the textbooks 『Highschool mathematics』that observe the revised curriculum of 2007 In order to solve above research problems, the analysis criteria was set for classification for each type of mathematical connectivity first and the cases of mathematical connectivity appeared in the unit of complex number that is the first research problem were summarized based on that. And, the characteristics of unit of complex number were investigated based on the cases of mathematical connectivity regarding the second research problem. The adequateness of mathematical connectivity cases was analyzed based on the importance that complex number has in school mathematics at that time. The results of this study are as follows. As the results of analyzing research problem 1, there was the difference between the cases of internal connectivity and external connectivity of mathematics that appear in the unit of complex number. The internal connectivity was more used by 1.65 times than the external connectivity in the textbooks. As the result of analyzing it for each case of mathematical connectivity, the connection of concept was mainly used and the connection of subject was not used enough. And, as the result of comparing the degree of using mathematical connectivity for each textbook, it appeared that there was no difference regarding the average of mathematical connectivity, but there was difference for each type of connectivity. As the results of analyzing research problem 2, the cases of connecting the context that took history of mathematics as the theme in the introductory part were most frequent. The cases of the connection of concept appeared in the part of development. The mathematical connectivity was used more by 2.25 times in procedural knowledge than conceptual knowledge and all cases of concept, expression, subject and context could be found especially in the arithmetic operation of complex number. As the result of analyzing the case of utilizing the mathematical connectivity based on the importance that complex number has in school mathematics, the case of the connection of expression that can be an obstacle for students to recognize complex number as the number and case of connection of concept that the connectivity of quadratic equation and complex number is not applied enough could be found. The conclusion like followings could be made based on this study. It is the natural result that the connectivity of concept is mainly used due to characteristics of mathematics called the connectivity. But, the effective learning should be enabled by utilizing the connectivity of various types in the textbooks that the students who have each different background knowledge and level of understanding use commonly. And, the review should be performed in advance in respect of accuracy regarding the connectivity that utilizes the relevant contents. In case the mathematical connectivity is not performed correctly, the students consider complex number as the shape that is formed by adding characters to real number not the number, but there is a possibility that is recognized as the number that does not exist actually (Park jaegeun, 2007; Park seonho, 2011). And regarding that the mathematical connectivity plays the role of mitigating amount of learning by providing the view that looks at each concept syntagmatically, the developers of textbooks should compose the textbooks considering if the connectivity is utilized enough and the teachers should teach the view of connectivity based on prior knowledge. This study has the meaning in respect that analyzes the textbooks on 『Highschool』mathematics along the revised curriculum of 2007 considering both internal & external aspects of mathematical connectivity and it can be utilized as the reference data of textbook development according to the revised curriculum of 2009 that emphasizes the mathematical connectivity. The analysis suggest further study as following. Study was carried out by limiting only to the unit of complex number of highschool mathematics as the target. So, the study that grasps the degree of using mathematical connectivity in the mathematics by analyzing the mathematical connectivity regarding whole territory of highschool mathematics can be the meaningful study. And, it needs to research if there is specific pattern for application type by analyzing mathematical connectivity appeared in the problem targeting the mathematics workbooks.