자유트리의 그리드 임베딩 알고리즘

Abstract

그래프 G와 H가 주어졌을 때, 그래프 임베딩(graph embedding)은 그래프 G와 그래프 H 사이의 정점들을 일대일로 대응시키고, 그래프 G의 에지들을 그래프 H의 경로로 대응시키는 것을 의미한다. 그래프 임베딩은 VLSI 설계와 네트워크 위상 설계 등과 같은 광범위한 분야에서 응용될 수 있다. 그래프 임베딩의 한 분야인 그리드 임베딩(grid embedding)은 그래프 G의 각 정점이 그리드 상의 정점으로 일대일로 대응되고, 그래프 G의 각 에지는 그리드 상의 경로로 대응되는 것을 의미하며, 이는 그래프 G를 그리드 상의 정점들과 에지들만 사용해서 그리는 그리드 드로잉(grid drawing)과 같은 의미를 갖는다. 본 논문에서는 차수(degree)에 제한이 없고 루트가 없는 자유 트리(free tree)를 사각 그리드(square grid)에 임베딩하는 문제를 고려한다. 사각 그리드 상에서는 한 정점에 부착될 수 있는 최대 에지의 수가 4이므로 차수에 제한이 없는 자유 트리를 사각 그리드에 임베딩하는 경우에는 한 정점에 부착될 수 있는 에지의 수를 확장시킬 필요가 있다. 이를 위해서 본 논문에서는 모조 노드(dummy node)를 첨가했다. 본 논문의 목적은 굴곡부(bend)를 생성시키지 않으면서, 연장 비율(dilation)과 모조 노드의 수를 최소화해서 자유 트리를 평면상의 사각 그리드에 임베딩하는 데 있다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 1-separator theorem을 이용해서 분할 정복 (divide-and-conquer)방식으로 문제를 해결한 것으로써 제안된 알고리즘으로 자유 트리를 그리드에 임베딩하면, O(nlogn)시간이 소요되고, 설계 면적은 O(n^(log_(3)4))이 된다.;A graph embedding is a one-to-one correspondence between the vertices of the graph G and H, and between each edge in the graph G and a unique path of the graph H. The problem of embedding graphs finds applications in various areas such as the VLSI design and the network topology construction. One of the varieties of a graph embedding is a grid embedding which has the same meaning as the grid drawing. This thesis considers the problem of embedding a free tree with the unbounded degree into the square grid. Since every node in the square grid has degree four, we insert dummy nodes to expand the number of incident edges on a grid vertex. The emphasis of this work is on the algorithmic aspects of minimizing dilation and the number of dummy node, and producing no bend or edge crossing when embedding a free tree into the square grid. The proposed algorithm is based on the divide-and-conquer method using the 1-separator theorem. This algorithm requires O(nlogn) -time and O( n^(log_(3^(4)))) -area.