국민학교 아동의 어림셈 능력과 전략 분석

Abstract

머리속에서 계산의 결과를 어림하는 능력은 일상생활에서 정확한 계산과 함께 중요한 기초적인 수학 기술이다. 특히 계산기나 컴퓨터의 사용 증가로, 기계의 고장이나 문자판의 단추를 잘못누르는 등의 실수로 인한 오답을 빠른 시간내에 체크할 수 있는 어림셈의 필요성이 강조되었다. 그러나 이러한 어림셈의 중요성에도 불구하고, 그것은 수학교육과정에서 무시되었던 영역중의 하나이었다. 수학교육과정에서 어림셈은 3학년때 부터 소개되지만, 몇개의 제한된 전략만 제시하고 있어서 충분한 학습 동기를 주지 못하고 있으며, 정확한 紙筆계산보다 덜 중요한 것으로 취급되고 있다. 이러한 제한점을 극복하고, 어림셈의 중요성을 인식하면서 효과적인 어림셈 학습 방법을 모색하기 위해서는, 아동들이 개발·사용하는 어림셈 전략이 무엇인지에 대한 연구가 필요하다. 따라서 본 연구는 어림셈 학습에 도움을 줄 수 있는 기초 자료로써, 아동의 어림셈 능력을 측정하고, 어림셈 과정에서 아동들이 주로 사용하는 전략이 무엇인지를 선행연구에서 발견된 전략에 비추어 분석하는 것을 목적으로 하고 있으며, 구체적인 연구문제는 다음과 같다. 1. 아동의 어림셈 능력은 어느 정도인가? 2. 자연수의 어림셈에서 上·中·下의 아동들이 사용하는 전략은 무엇인가? 3. 소수의 어림셈에서 上·中·下의 아동들이 사용하는 전략은 무엇인가? 4. 분수의 어림셈에서 上·中·下의 아동들이 사용하는 전략은 무엇인가? 이와같은 연구문제를 위하여 표집된 연구대상은 47명의 국민학교 6학년 아동들이다. 연구문제 1를 위한 검사도구는 자연수, 소수, 분수의 사칙연산을 포함하는 자유응답 형식의, 17개의 수만 제시되는 계산문제와 17개의 응용문제로, 한 문항당 약 20초의 시간을 제한하여 실시되었다. 연구문제 2,3,4를 위한 검사도구는 자유응답 형식의 5개의 계산문제, 5개의 응용문제와 집단검사 결과에서 분석된 아동이 가장 어려워 하였던 5개 문제 중 3개의 계산문제를 포함시켜서, 총 13개의 어림셈문제였다. 인터뷰 동안에는 시간을 제한하지 않았다. 아동들에게 어림셈 집단 검사를 먼저 실시한 후 얻은 점수(0 - 29점)를 기준으로 분류된 上(20 - 29점)·中(10 - 19점)·下(0 - 9점) 각 12명씩 총 36명의 아동들을 대상으로 개별 인터뷰를 실시하였다. 결과는 다음과 같다. 첫째, 집단 어림셈 검사 결과, 계산문제에서의 어림셈 점수의 평균은 8.19이었고, 응용문제에서의 평균은 7.06으로, 아동들은 수만 제시되는 계산문제에서 어림셈을 더 잘하였다. 또한 아동들이 가장 쉽게 해결했던 어림셈 문제는 자연수의 덧셈, 나눗셈, 곱셈이었던 반면, 가장 어려워 하였던 문제는 분수의 덧셈, 자리값이 다른 자연수의 뺄셈, 곱셈과 나눗셈의 혼합 연산이었다. 둘째, 인터뷰 결과에서 발견된 아동의 일반적인 어림셈 과정은 선행연구에서 발견되었던 과정과 같은, 수를 바꾸어 어림셈하기, 문제의 수학적 구조를 바꾸어 어림셈하기, 어림값이 정답에 더 가깝게 되도록 계산 중간이나 마지막에 수를 조절하기였고, 이들 어림셈 과정에서 주로 사용된 전략은 반올림, 앞자리 수로 계산하기, 문제에 주어진 수들의 관계를 고려하여서 계산이 쉽게 될 수 있는 수를 사용하기, 버림, 평균값으로 계산하기였다. 특히 앞자리 수로 계산하는 아동들 대부분은 결과로 나온 값을 조절하는 과정을 보였다. 아동들은 수를 변형하는 과정을 가장 많이 사용하였으며, 문제의 수학적 구조를 바꾸어 계산하는 아동들은 소수였다. 자연수의 덧셈과 뺄셈에 대한 어림셈에서는 각 집단별로, 반올림, 앞자리 수로 계산하기 전략 사용을 많이 보였다. 덧셈에서는 上·下 집단의 아동들은 앞자리 수로 계산하고서 그 결과로 나온 값을 조절하는 전략을 가장 많이 사용하였고, 中집단의 아동들은 반올림 전략사용을 많이 보인 반면, 뺄셈에서는 上·中의 아동들은 반올림 전략을 가장 많이 사용하였고, 下 집단의 아동들은 앞자리수로 계산하는 전략을 가장 많이 사용하였다. 특히 자연수의 덧셈에서는 中 집단에서 소수의 아동이었지만, 수들의 크기를 고려하여서 그 평균값으로 계산하는 전략 사용이 발견되었다. 이외에, 암산을 하여 얻은 정답을 어림값으로 바꾸는 것 뿐만 아니라, 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 형식算 알고리듬의 각 단계에서 나오는 값들을 어림값으로 고쳐 계산하는 전략이 새롭게 발견되었고, 이는 빈번하게 사용되었다. 즉 일의 자리 계산 결과 나온 값을 어림수로 고쳐서 십의 자리로 올려주는 등의 과정이 좀더 정확하게 계산하려는 上·中의 아동들에게서 많이 발견되었다. 자연수의 곱셈과 나눗셈에 대한 어림셈에서는 어림셈을 잘하는 아동과 못하는 아동간의 차이가 나타났다. 즉, 上집단의 아동들이 반올림을 가장 많이 사용한 반면, 中·下집단에서는 수용될 수 있는 합을 대충 계산하는 아동들이 더 많았다. 자연수의 곱셈과 나눗셈 혼합 연산에 대한 어림셈에서 上집단의 아동들은 쉽게 계산되기에 알맞은 수로 바꾸어 어림셈을 하였으나, 中·下의 아동들은 형식算 알고리듬을 많이 사용하였고, 기본연산에 대한 지식 부족으로 인한 오류들이 특히 下 집단에서 많이 발견되었다. 자연수의 어림셈에서 오답을 계산한 아동들의 과정을 분석한 결과, 기본연산에 대한 지식 부족으로 인한 오답이 가장 많았으며, 그외 수의 크기에 대한 감각 부족, 자리값에 대한 이해의 부족, 비합리적으로 대충하는 계산과정이 발견되었다. 수의 크기에 대한 감각의 부족은 보상의 양을 결정할 때와 어림셈 전략, 특히 반올림, 올림, 버림의 전략을 선택할 때 나타났으며, 자리값에 대한 이해의 부족은 계산한 값을 다음 자리로 올려줄 때에 많이 나타났다. 소수의 덧셈에 대한 어림셈에서는 집단 간의 큰 차이없이 반올림과 앞자리수로 계산하는 전략을 많이 사용하였다. 또한 소수 덧셈에서는 다른 연산에서보다 誤答율이 가장 낮았다. 분수의 덧셈에 대한 어림셈에서는 전략 사용에 있어서 집단간에 차이가 뚜렷하였다. 즉, 上집단의 아동들은 빠르고 간편하게 계산하기 위하여 분수를 정수나 소수로 바꾸어 계산하는 전략의 사용을 많이 보였으나, 中·下의 아동들은 정답을 계산하려 하거나 분모끼리, 분자끼리 더하거나, 분모, 분자를 약분하는 비합리적인 계산과정을 많이 보였다. 이러한 과정은 특히 어림셈을 잘 못하는 下집단의 아동들에게서 두드러지게 나타났다. 이와같이 자연수의 덧셈과 뺄셈, 소수의 덧셈에 대한 어림셈에서는 어림셈을 잘하는 아동과 못하는 아동간의 큰 차이가 없었던 반면, 곱셈, 나눗셈, 분수의 덧셈에서는 집단간의 차이가 분명하였다. 자연수의 곱셈과 나눗셈의 어림셈에서는 기본 연산에 대한 지식 부족으로 인한 오류가 많았었고, 교과서에서 배우지 않는 분수 덧셈의 어림셈에서는 각 집단간에 기본연산에 대한 지식외에 수의 크기에 대한 감각과 수학적 사고의 융통성에서의 차이가 발견되었다. 따라서 어림셈 학습시 형식算 알고리듬과 정답에 대한 강조는 피하면서, 아동의 다양한 답을 수용하고, 아동의 수에 대한 감각 습득에 더 중점을 두면서 아동에게 스스로 전략을 만들어 융통성있게 사용하는 기회를 많이 제공해 주어야 한다.;Computational estimation has long been recognized as a basic mathematical skill. Despite its importance, this skill has been neglected in the mathematics curriculum. Although computational estimation is introduced around the third grade, children are often poorly motivated to study it. Instruction related to estimation skill focuses on applying rounding skill to estimate with addition, subtraction, multiplication, and division of whole numbers. The purpose of this study was to obtain performance level data on the computational estimation of children in grade 6 and to indentify the estimation techniques and processes used by good/poor estimators in producing estimates. The questions of the study were in the following: 1. What was the performance level of the computational estimation of children? 2. What were the strategies used by good/poor estimators in the producing estimates with whole numbers? 3. What were the strategies used by good/poor estimators in the producing estimates with decimals? 4. What were the strategies used by good/poor estimators in the producing estimates with fractions? The overhead project test of 37 open-ended items was used in this research to collect performance data on the computational estimation of 47 sixth graders. The test included 17 straight computation items(thoes containing only numerical data) and 17 application items(thoes containing numerical data embedded in a physical context). The Interview included 8 straight computation exercises and 5 applied computation exercises. In order to ascertain the strategies and processes used in solving different estimation problems, the children were asked to describe as fully as possible the strategies they used to arrive at their estimate. All interviews were audio-taped and transcribed. The results were in the following: First, the mean score in the straight computation items was 8.19, and 7.06 in the application items. The addition, the multiplication, and the division with whole numbers were included in the easiest items, but the addition with fractions in the most difficult items. Second, the three general estimation proceeses, namely, reformulation, translation, and compensation(Reys et al., 1982) were observed in the interview. Of the three key processes, reformulation was observed most frequently during the interviews, followed by compensation and translation. Among the reformulation strategies, rounding and front-end were most frequently observed. Among the translation strategies, averaging was most frequently observed. In the computational estimation items of the addition and the subtraction with whole numbers, most of the children used rounding. In the items of the multiplication and the division with whole numbers, good estimators used rounding, but poor estimators used paper-and-pencil computational algorithms. In the decimal computational estimation, most of the children used on rounding strategy. In the fraction computational estimation, good estimators used compatible numbers which were changed into , the whole numbers or the decimals, but poor estimators used paper-and-pencil computational algorithms. In this way, good estimators used the various strategies but poor estimators used the limited strategies presented in the textbook. This study suggests that the instruction in the computational estimation needs to be designed to encourage children to develop the estimation strategies and give them the opportunities to use the strategies flexibly.