고등학교 수학문제해결에서 개념이해의 적용수준에 대한 연구

Abstract

개념의 이해는 문제해결과정에서의 선결과제가 된다. 일반적으로 개념의 이해가 우수하면 문제해결의 성취도는 높다고 생각된다. 그러나, 모든 수학적 문제해결에 대하여 이러한 견해가 똑같이 적용될 수 있는가에는 의문이 제기될 수 있다. 본 연구는 이러한 의문에 기초하여 고등학교에서의 수학적 개념의 이해정도와 문제해결 성취도간의 관계를 재검토해보며, 특히 기하문제나 전략의 선택이 필요한 문제에 초점을 맞추어 학생들의 풀이과정을 분석하면서 그 의문점을 조사하는데 있다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같이 설정하였다. 1. 수학적 개념의 이해도와 문제해결의 성취도와는 어떤 관계가 있는가 ? 2. 개념의 이해에는 오류가 없으나 문제해결을 제대로 하지 못한 경우의 원인은 무엇인가 ? 이상의 연구문제를 분석하기 위하여 학업 성취도별로 상위집단과 중하위집단으로 구분된 표본집단에 대하여 테스트를 실시하였으며, 테스트 문제는 각 문제별로 개념 이해문항과 문제해결문항으로 구성한 후, 개념의 이해도와 문제해결의 성취도를 측정하고 그 결과들을 서술적으로 제시하였다. 먼저 연구문제 1의 결과는 대수문제군에 대하여서는 두 집단 모두가 개념의 이해가 우수한 경우에 문제해결의 성취도 또한 높게 나타나서 일반적인 견해가 적용됨을 알 수 있었다. 그러나 기하문제군이나 전략문제군에 있어서는 두 집단 모두에게서 개념의 이해가 우수한 경우에도 문제해결을 잘 하지 못하는 경향이 크게 나타났다. 그 원인은 고등학교 수학의 교과과정이 기계적인 계산과 암기위주로 치우쳐 있어 학생들의 사고력을 증진시키는데 효율적이지 못하며, 수업시간에 개념의 지도와 더불어 적절한 전략을 선택하여 사용하는 기술을 지도하는데 교사의 관심 및 교재, 시간이 절대적으로 부족하다는 데 있다고 생각된다. 아울러 삼각함수와 로그의 기본개념에 대한 이해도가 낮게 나타났는데 이에 대한 지도방법의 개선이 필요하다. 연구문제 2의 결과로서 개념은 이해되었으나 문제해결을 제대로 하지 못하는 주요원인은 두가지로 나타났다. 한가지는 문제해결과정에서 적절한 전략의 선택과 사용기술의 미숙함이 문제해결의 실패원인으로 나타났다. 문제해결과정에서는 다양한 전략의 구상이 필요하고, 그 전략이 문제와 효과적으로 통합되어 적용될 때 문제해결 성취도는 높아지지만 이에 실패하면 개념을 이해한 경우라도 문제해결에는 실패하게 된다. 또 한가지 원인은 문제해결과정에서의 개념의 적용이 서툴다는 것이다. 즉, 개념을 각각의 독립적인 사실로만 이해하고 실제로 그 개념과 관련된 문제해결을 할 때에는 개념을 문제에 적절하게 통합시키거나 적용하지 못하므로 문제해결을 하지 못하게 된다. 이와 같이 개념의 이해정도와 문제해결의 성취도는 문제의 특성에 따라서 상관관계가 달라지며, 그 원인은 문제해결과정에서의 전략의 선택 및 사용의 미숙과 개념의 적용 및 통합의 미숙에 있으므로 이에 대한 교사의 주의깊은 지도와 아울러 교재구성 과정에서 충분한 검토가 있어야 한다고 생각된다.;In problem solving processes, Understanding of concepts is prerequisite task. Generally, we have assured that high achievement in problem solving is caused by good understanding of mathematical concepts. But for applying this viewpoint equivalently to all mathematical problem solving situation, some questions may be raised. The main purpose of this study, based on this questions, is to re-examine for the correlation between the understanding level of concepts and the degree of achievement in problem solving. Specially, geometric items and heuristic oriented items have been focused. The tasks of this study are as follows : 1. What correlation exists between the understanding level of concepts and the achievement in problem solving behavior. 2. What is the reason for the case that students showing good understanding level of concepts did not present correct solution for the main problems. To analyze this tasks, a test has been performed to two groups ; upper class and middle-lower class. In the case of the algebraic items, students showing good understanding level of concepts have represented high achievement in the problem solving processes. But for the geometric items and heuristic-oriented items, good understanding of concepts have not guaranteed high problem solving achievement, And this tendency has been found in both groups. As the reason for this tendency, lack of thinking ability due to the curriculum biased to mechanical calculation and memory can be considered. Also lack of concern, teaching material, and time usable for the instruction of heuristics is another issue must be considered. Understanding level for the basic conceps of trigonometric function and logarithmics is very low. Therefore the instruction method for these items must be improved. As the result of task 2, main reasons for the case of poor achievement in problem solving with good understanding level of concepts have been grasped as follows. First, inability of selecting and using for the appropriate heuristics in problem solving processes can be considered. In problem solving processes, one must map out various heutistics and must integrate the problem situations with selected heuristics. If one cannot find appropriate heuristics or cannot integrate the problem situations with this heuristics, he will failed in problem solving although he have understood the relevant conceps. Another reason which must be considered is the poor application of the relevant concepts. That is, if one understand various concepts only as independent notions, he will cannot integrate or apply the concepts with problem situations. Consequently, he cannot solve given problems. As can be seen above discussion, the correlation between the understanding level of concepts and the achievement in problem solving behaviors is changed according to the characteristics of given problems. Inability of selecting and using for the appropriate heuristics and the poor application of the relevant concepts are grasped as the main reasons for the failure in problem solving in the case with good understanding level of concepts. Therefore, teachers must contemplate on the teaching skills and instruction materials which can work out the above issues.