일차방정식의 풀이기능과 문장제 해결과의 관계에 관한 연구

Abstract

The purposes of this study are to see which relation the algorithmic solving fuction of a simple equation has with the solution of a sentence question which is organized to be solved by introducing a simple equation corresponding to the question and io investigate which stage is especially difficult for students in solving questions by analyzing the various stages of introducing an equation by which they can understand and solve it successfully, especially on the basis of 4 solution stages suggested by Tolya. What the study looks into for the purposes are as follows: First, is there any difference between the solutions of a simple equation question and of a sentence question which requires the introduction of a simple equation formula corresponding to the question to answer it. Second, for the question understanding stage, is there any difference between the successful solutions of one group which is given concrete questions to understand matters and of another group which is not? Third, is the difference of successful solutions, by the small middle group, between the questions of simple equation and sentence questions same as the difference shown by the superior and/or inferior group? Four, is the difference of successful solutions, by the small superior group, between the questions of simple equation and sentence questions same as the difference shown by the inferior group? To determine the Hatters described above, some junior highschool students are put to the test of simple equation questions and sentence questions. The findings of the study are as follows: First, it is revealed that the student's solution degree has a significant difference in accordance wi th the programming groups (simple equation questions and sentence questions) and their study capability and its correlation is also very significant. Second, for the simple equation questions and the sentence questions which are organized to require the introduction of corresponding simple equations to solve them, there is a significant difference among them, which varies according to the changing level of their study capability, Such a difference of solutions between the solving questions and sentence questions is discovered to be greatest in the middle group, which suggests that students in this group can solve the simple equation questions as much as those in the superior group but suffer most from solving the sentence questions that correspond to the equation questions. Almost all of the students belonging to the superior group manage to solve the simple equation questions well but there also are some students who cannot solve the sentence questions with significant difference showing. But it may seem to be not so great as in the middle group. As expected, most of the students in the inferior group cannot solve the sentence questions well, to say nothing of the simple equation questions Third, it is discovered that the sentence questions are understooed in solving them but proper, corresponding simple equations cannot be introduced well in terms of the interrelationship with confirmed conditions, suggesting the difficulty of puting them into expression. Four, many students show a good linguistical understanding to know and confirm the given informations, conditions, or what are asked, however, it seems to be very hard for them to grasp the interrelationship of the well confirmed conditions and to recognize them by combining them mathmatically. The following suggestions can be added to the descriptions said above: First, when teaching the simple equation, teaching point should include the students' acquisition of solving function plus its application throug which they can practic such a function. Second, since the basic function of introducing the formularization strategy is to transform the written sentence into the corresponding equation, following teaching procedure should be encouraged for the students that they can introduce formulas to' solve the questions by themselves: First, students should be asked enough to understand questions well at the understanding stage, asked to express their situations in linguistic formulas correctly before introducing their unknown quantities, and, finally, helped to formularize them through the inquiring question and epilougue. Third, as a way of understanding the relations at the understanding stage of questions, any surplus or too little questions which are not necessary in solving the originally designed question may be added to the question statement so that students are forced to understand the original question by catching the necessary information only.;수학적 지식과 기능을 새로운 문제장면에 이용할 수 있는 수학적 능력의 개발은 중요한 일로써 문제해결과정을 통하여 이루어진다. 본 연구의 목적은 일차방정식의 알고리즘적인 풀이기능이 그 일차방정식을 세워서 해결하도록 구성된 문장제의 문제해결과 어떤 관계가 있는지를 학업성취 능력별로 알아보며, 문장제의 문제해결과정을 Polya의 일반적 문제해결과정의 4단계를 기본골격으로하여 특히 문제이해와 해결계획 수립(식세우기)의 단계를 중심으로 분석하여 어느 단계에서 어려움을 느끼는지를 알아보기 위함이었으며 이를 위한 연구내용은 다음과 같다. 1. 일차방정식의 풀이문제와 그에 상응하는 일차방정식을 세워서 해결하도록 구성된 문장제 사이에 성취도의 차이가 있는가? 2. 중위 소집단간에 있어 일차방정식의 풀이문제와 문장제에 따른 성취도의 차이가 상위와 하위 소집단간에 있어 성취도의 차이와 같은 차이를 나타내는가? 3. 상위 소집단간에 있어 일차방정식의 풀이문제와 문장제에 따른 성취도의 차이가 하위 소집단간에 있어 성취도의 차이와 같은 차이를 나타내는가? 4. 문장제 해결에서 문제이해 단계에서의 문제이해를 위한 구체적인 질문들이 주어진 집단과 그러한 질문들이 주어지지 않은 집단 사이에 성취도의 차이가 있는가? 이와같은 연구문제를 분석하기 위하여 중학교 학생들을 대상으로 일차방정식의 풀이문제와 문장제의 문제해결에 관하여 테스트를 실시하였고, 검증형 통계방법과 서술형 통계방법을 통하여 결과를 분석하였다. 결과분석을 통하여 얻어진 전체적인 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 일차방정식의 풀이문제와 그에 상응하는 일차방정식을 세워서 해결하도록 구성된 문장제 사이에는 성취도에 유의적인 차이가 있었으며 이러한 차이는 학업성취능력 상, 중, 하에 따라서 그 정도가 다르게 나타났다. 그리하여 일차방정식의 풀이기능이 그것을 이용하여 해결하도록 구성된 문장제 문제해결과정에서 전이가 잘 이루어지지 않고 있음을 알 수 있었다. 둘째, 중위 소집단간에 있어 일차방정식의 풀이문제와 문장제에 따른 성취도의 차이는 상위와 하위 소집단간에 있어 성취도의 차이와 유의적인 차이가 있었다. 그리하여 중위 소집단간에 성취도의 차이가 가장 심하게 나타남으로써 특히 중위 소집단의 학생들은 일차방정식의 풀이문제는 상위 소집단과 같은 정도로 잘 풀수 있으나 문장제 해결에서는 상대적으로 가장 많은 어려움을 겪고 있음을 알 수 있었다. 세째, 상위 소집단간에 있어 일차방정식의 풀이문제와 문장제에 따른 성취도의 차이는 하위 소집단간에 있어 성취도의 차이와 유의적인 차이가 없었다. 즉 상위 소집단에 있어 성취도의 차이는 하위 소집단에서와 같은 정도를 보이는 것으로 나타났다. 그리하여 상위 소집단에서도 풀이문제는 충분히 잘 풀 수 있으나 문장제를 해결하지 못하는 학생들이 유의적인 차이를 보이며 존재하였으나 중위 소집단에서 만큼 심한 정도의 차이는 아닌 것으로 나타났으며, 하위 소집단의 학생들은 일차방정식의 풀이문제 조차도 제대로 풀지 못하는 학생들이 많았으며 더 나아가 문장제는 거의 해결하지 못하고 있음을 알 수 있었다. 네째, 문장제 문제해결과정에서 문제이해 단계에서의 문제이해를 위한 구체적 질문들이 주어진 집단과 그러한 질문들이 주어지지 않고 곧바로 문제를 해결하도록 한 집단 사이에는 성취도에 유의적인 차이가 없었다. 그리하여 문장제의 해결과정에서 문제를 충분히 이해한다고 해서 반드시 성공적인 문제해결을 한다고 볼 수 없으며 문제를 이해하였으나 확인된 조건들의 상호관계를 적절한 형식의 일차방정식으로 나타내지 못함으로써 식세우기에 어려움을 겪고 있는 것으로 볼 수 있겠다. 다섯째, 문장제의 해결과정에서 많은 학생들이 문제이해 단계에서 주어진 정보, 조건 또는 묻고 있는 것이 무엇인지를 이해하고 확인하는 언어적 이해는 잘 했으나 해를 얻기 위해서 반드시 설명되어져야하는 관계들의 정확한 의미를 파악함으로써 확인된 조건들의 상호 관계를 수학적으로 결합시켜서 인식하는 관계적 이해에 더 많은 어려움을 겪고 있음을 알 수 있었다. 이상의 연구결과에 따라 다음과 같은 제언을 할 수 있겠다. 첫째, 일차방정식을 가르칠때는 풀이기능의 습득과 함께 그러한 기능을 사용하여 다양하고 새로운 문제상황들을 해결할 수 있는 능력을 개발하고 향상시키기 위한 적용을 반드시 포함하는 문제해결 학습지도가 강조되어야 할 것이다. 그리하여 현행 중학교 교과서의 내용구성을 문제해결 중심으로 재구성하여 문제상황을 먼저 제시하고 이 문제를 해결 위해서는 일차방정식의 풀이기능이 필요함을 알게 하여 문제해결 과정에서 기능의 습득 및 적용이 함께 이루어지게 하는 지도방법이 적극적으로 도입되어야 할 것이다. 둘째, 학생의 문제해결능력의 개발을 위해서는 획일적인 수업진행방법에서 탈피하여 무엇보다도 학생들의 인지발달과 수학적 배경능력의 수준에 따라 적절한 문제해결 지도가 이루어져야 할 것이다. 특히, 중위 소집단의 학생들은 각 단계에서 전략적 발문과 함께 그림이나 표를 이용한 문제제시, 적절한 시기에의 구체적인 힌트제시 등을 통하여 좀더 효과적인 문제해결 지도가 이루어진다면 하위 소집단에 비해 문제해결력이 크게 향상될 수 있으리라 기대된다. 세째, 해결계획 수립의 단계에서 식세우기 전략을 이용한 문제해결은 문제해결의 초기에서는 그다지 증요시 되지 않으나 복잡한 문제를 풀이할때는 매우 중요하게 된다. 식세우기 전략에서의 기본기능은 한글로된 구문을 방정식으로 전환하는 것이다. 따라서 문제이해 단계에서의 구체적 질문을 통한 문제이해 활동을 충분히 한 후에, 곧바로 미지수를 도입하기 전에 먼저 문제상황을 말로 된 식으로 나타내게 한 다음 탐색적인 질문과 발문을 통하여 도와주면서 학생 스스로 식을 세워보게 하는 문제해결 수업방법이 적극적으로 도입되어야 할 것이다. 네째, 문장제의 문제이해 단계에서 주어진 정보, 조건 또는 묻고 있는것이 무엇인지를 이해하고 결정하는 언어적 이해활동과 함께 구체적이고 유도적인 질문과 힌트를 통하여 그 문제를 해결하려면 반드시 설명되어져야하는 내재된 관계들의 정확한 의미를 파악할 수 있도록 하는 관계적 이해활동에 더욱 역점을 두는 문제해결 학습지도가 이루어져야할 것이다. 그러한 활동의 한 방법으로써 과잉조건의 문제에서 문제를 해결하는데 반드시 필요하지 않은 남는 정보나 관계없는 정보가 무엇인지를 알아내거나 과소조건의 문제를 제시하여 그 문제를 해결하기 위해서 반드시 필요한 정보가 무엇인지를 알아내는 과정을 통하여 문제를 이해할 수 있도록 도와 줄 수 있을 것이다.