함수 개념의 실용적 이해를 위한 지도 방안 탐구 : 다항함수를 중심으로

Abstract

학생들이 함수를 실생활에서 경험하고 이해할 수 있도록 함수를 도입하기 위한 많은 논의와 연구가 있었는데, 그 노력의 결과 중 대표적인 것이 상황학습이론과 RME 이론이다. 수학 학습이 실제 상황에서 시작되어야 하며 학생들의 능동적인 활동을 통한 적극적인 탐구와 협동이 이루어질 수 있도록 해야 한다는 입장이다. 이에 본 연구에서는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 함수의 개념을 도입할 때, 6차 교과서와 7차 교과서의 함수 단원에는 구성 면에서 어떠한 차이가 있으며, 각 교과서는 여러 가지 다항함수를 소개할 때 실생활의 예를 적절히 반영하고 있는가? 2. 실생활에서 얻어진 자료에서 자료의 두 변량 , 사이의 관계를 적절한 다 항함수를 이용하여 나타낼 때, 7차 교과서로 학습한 중학교 1학년 학생들과 6차 교과서로 학습한 3학년 학생들은 그 방법을 어떻게 알 수 있으며, 두 학년 학생들 사이에 개념에 대한 차이가 있는가? 3. 함수 관계의 여러 가지 표현 방법을 이해하고 필요에 따라 표현방법을 바꾸거나, 적절한 표현방법으로 나타낼 수 있는 능력을 기르기 위한 바람직한 방법은 무엇인가? 중학교 1학년 6차, 7차 교과서와 3학년 6차 교과서를 분석한 결과, 7차 교과서에는 실생활적 측면의 예가 많이 도입되었지만, 6차 교과서에는 1학년, 3학년 교과서 모두 실생활적 측면의 예가 거의 없었다. 7차 교과서는 활동과 상황을 중심으로 다양하게 실생활적 측면을 강조하면서 내용 전개가 이루어지고 있었다. 새로운 교과서로 학습한 1학년 학생들과 6차 교과서로 학습한 3학년 학생들은 교과서에서 다뤄보지 못한 함수 문항에 대해 응답 결과의 정답률에 있어서 차이가 없었다. 문항은 언어적 상황에 의한 진술과 대응표만으로 일차함수, 또는 이차함수를 구하는 것이다. 3학년 학생들은 이차함수를 배웠음에도 불구하고 성취도가 낮았는데, 이는 교과서에 제시된 문제들에만 익숙하기 때문이다. 이에 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 실생활에서 얻어진 자료에서 자료의 두 변량 , 사이의 관계를 적절한 다항함수를 이용하여 나타낼 수 있는지 아는 방법에 대한 지도를 해야 한다. 이는 교과서에서 미흡하게 다루고 있는 부분인데, 우리가 실생활에서 얻게 되는 자료는 아무런 조건이 없이 주어지는 것이기 때문에 이에 대한 지도 방안이 필요한 것이다. 실생활에서 얻은 자료를 활용할 수 있도록 실용적 지도 방안을 구체적으로 마련해야 한다. 다항함수에서 몇 차 함수인지 학생들이 스스로 알아내어 그 함수를 직접 구할 수 있도록 하는 지도가 필요하다. 실용적인 함수 개념의 지도를 위해 본 논문에서 제시한 통계적 방법을 교과서에서 더 비중있게 다루고, 계차수열에 의한 방법도 교과서에서 다루어 학생들이 실생활에서 함수적 상황을 접했을 때 그 상황에서 규칙성을 찾아 함수를 인식하고 그것을 표현할 수 있어야 한다. 둘째, 학생들에게 동일한 문제를 여러 가지 표현으로 제시하여 학생들이 다양한 표현을 통해 문제를 이해하고 해결할 수 있도록 교육과정이 구성되어야 할 것이다. 본 연구의 함수 개념에 대한 문항의 평가 결과를 보면, 교과서에 나오는 문제에 익숙해 있던 학생들은 새로운 형태의 문제를 보고 거부감과 생소함으로 당황해 했다. 교과서에는 어떤 상황에 대해 한정된 표현으로만 구성하도록 하고 있다. 다양한 상황을 식, 그래프, 대응표, 언어 진술 등의 여러 가지 다른 표현으로 구성할 수 있는 학습이 이루어져야 한다. 그래서 실생활에서 얻게 되는 아무런 조건 없는 자료와 다양한 상황에 대하여 학생들이 그 상황에서 규칙성을 찾아 해결할 수 있는 능력이 길러져야겠다. ; There were discussion and study to experience and understand function in the real situations, when students evolve function. If taking examples to implement this purpose, situated learning theory and realistic mathematics education(RME) theory are already tried. The mathematics education should begin from real situation. It also induce observation and student cooperation actively. Primary inquires on research follow below. 1. In the context of constitutions, how does the difference present at the chapter of function between the 6th curriculum textbook and the 7th curriculum textbook which evolve function concept? Does each textbook properly give examples of real situation in introducing students to various polynomial function? 2. How do students know the methods for the 7th graders who studied with 7th curriculum textbook and the 9th graders who studied with 6th curriculum textbook, when they represent two variable quantities, and of real situations as polynomial function? Any comparisons of concepts exist between them? 3. What is desirable methods when the students develop the ability to understand various representation, compose representation from various circumstance and represent properly? Results of the 6th curriculum textbook and the 7th curriculum analysis revealed that there were many examples of real situations in the 7th curriculum textbook while there was few example of real situations in the 6th curriculum textbook. The 7th curriculum textbook is composed for consistency of activity-centered and situation-centered with emphasizing various real situation. Difference of the correct answer rate on function test were not observed between the 7th graders who studied with new textbook and the 9th graders who studied with 6th curriculum textbook. Test is to represent table of a linear function or a quadratic function as formula. There were not a difference in the achievement though the 9th graders learned a quadratic function. For they are accustomed exercises in the textbook. Based on the above researches, my suggestions follow below. First, it is recommended that the methods to represent two variable quantities, and of real situations as polynomial function be teached. This is insufficiency parts in the textbook because the data of real situations has no condition. A plan of directions about this is needed. It is recommended the a plan of practical directions be actualized to utilize the data of real situations. It is needed for directions to represent function after finding out what kind of function it is by oneself. For practical directions of function concepts, it is recommended that the statistical method be dealed with relative importantly in the textbook and the method of difference be dealed with in the textbook. Thus, students should find out pattern in the situation and represent it when they encounter functional context in the situations. Second, it is recommended that curriculum be to rearranged to understand and solve problems through various representation when students encounter same question of different representation. Results of function concept test based on this research revealed that the students were confused new problem with ejection and unfamiliarity because they got accustomed the problems of textbook. The textbook is composed of limited representation about any circumstances. It is recommended that students learn to compose formula, graph, table and word statement from various circumstances. Thus students should develop the ability to find out pattern and to solve the problems about the data without conditions of real situations and various circumstances.