평면 그래프의 최대 대칭성 탐지 및 대칭 드로잉 알고리즘

Abstract

그래프 드로잉은 그래프의 기하학적인 표현을 구축하는 것으로 추상적인 그래프를 이차원 또는 삼차원으로 시각화함으로써 그가 모델링하는 정보의 판독성을 증가시킨다. 그래프 드로잉의 유용성을 판단하는 평가 기준 중에서 대칭성(symmetry)은 그래프의 구조와 특성을 시각적으로 표현하는 가장 중요한 평가기준이다. 또한 대칭 드로잉은 전체 그래프가 크기가 작은 부그래프들로부터 반복적으로 구성됨을 보여줌으로써 전체 그래프에 대한 이해를 쉽게 해주는 장점이 있다. 일반 그래프의 대칭 드로잉을 구축하는 문제는 이미 NP-complete임을 증명되었으므로 그래프의 대칭 드로잉에 관한 기존 연구는 대상 그래프를 평면 그래프의 매우 제한적인 부분 집합으로 제한 시켰다. 예를 들면 트리나 외부 평면 그래프 그리고 임베딩이 주어진 경우의 평면 그래프에 대한 다항 시간 알고리즘이 제시되었다. 그러나 평면 그래프는 기하급수적인 수의 평면 임베딩을 가지므로 평면 그래프의 대칭 드로잉을 구축하는 문제가 역시 NP-complete인지 아니면 다항 시간 알고리즘이 존재하는 지에 대한 아직까지 미해결 문제로 남아있다. 본 논문에서는 평면 그래프 전체를 대상으로 대칭 드로잉 문제를 연구하여 평면 그래프의 최대의 대칭을 보여주는 드로잉을 구축하는 문제를 해결하는 다항 시간알고리즘을 구축하기 위해서는 다음과 같은 두단계가 필요하다. 첫번째 단계는 그래프의 대칭성을 탐지하는 단계이며 두번째 단계는 이를 기반으로 하여 찾아낸 대칭성을 보여주는 단계이다. 본 논문에서는 평면 그래프를 대상으로 이러한 두 단계를 해결하는 알고리즘을 제시한다. 먼저 평면 그래프의 대칭성을 분석하고 대칭 드로잉 문제를 해결하기 위하여 적합한 대칭성의 모델로서 평면 자기동형을 제시하고 유향 그래프인 경우를 위한 상향 평면 자기동형을 제시한다. 그리고 제시된 대칭성의 모델을 적용하여 평면 그래프의 부분 집합인 직병렬 유향 그래프에서 최대 크기의 상향 평면 자기동형 그룹을 계산하는 알고리즘을 제시한다. 이는 선형 시간으로 수행되는 최적 알고리즘이다. 또한 이를 기반으로 하여 직병렬 유향 그래프의 최대의 대칭을 보여주는 다양한 드로잉 알고리즘을 제사한다. 대칭 드로잉 알고리즘으로는 가시 드로잉, 버스 직교 드로잉 그리고 다각선 드로잉 등의 세가지 대칭 드로잉 알고리즘을 제사하며 이들은 모두 선형 시간으로 수행되는 최적 알고리즘들이다. 최종적으로 본논문의 최종 대상인 평면 그래프 전체를 대상으로 최대 크기의 평면 자기동형 그룹을 계산하는 알고리즘을 제시하는 알고리즘을 제사한다. 연결 평면 그래프를 이중 연결 성분들로 분할하고 다시 이중 연결 성분들을 상중 연결 성분들로 분할하여 트리를 구성하고 축소를 적용함으로써 평면 그래프의 최대 크기의 대칭을 탐지하는 문제를 해결하는 다항시간 알고리즘이 존재함을 보인다. 이는 최초의 다항시간 알고리즘이다. 또한 이를 기반으로하여 평면 그래프의 최대의 대칭을 보여주는 드로잉 알고리즘을 제시한다. 대칭 드로잉은 정보를 모델링한 그래프의 구조와 특성을 명확히 보여줌으로써 판독성과 이해도를 증대시키며 빠른 문제 해결을 가능하게 한다. 따라서 본 연구에서 제시하는 평면 그래프와 직병렬 유향 그래프의 대치성 탐지 및 대칭 드로잉 알고리즘들은 소프트웨어 및 네트워크의 시각화, 흐름을 보여주는 다이아그램 및 네트워크의 드로잉 및 분자식의 드로잉 등 매우 다양한 응용 분야를 갖는다. ; Graph drawing addresses the problem of constructing geometric representations of graphs. The automatic generation of drawings of graphs has many applications such as information visualization, VLSI, software engineering, biology and chemistry. Various graphic standards have been developed depending on applications. The usefulness of a drawing of graph depends on its readability, that is, the capability of conveying the meaning of the graph quickly and clearly. Readability can be expressed by means of aesthetic criteria. Symmetry is the most important aesthetic criteria which clearly reveals the fundamental and structural properties of an abstract graph. Also, symmetric drawing enables us to understand the entire graph to be built up from that of a smaller subgraph, replicated a number of times. However, the problem of determining whether a graph can be drawn symmetrically is NP-complete, in general. So the previous work had focused on the symmetric drawings of restricted subclasses of planar graphs such as trees, outerplanar graphs, and embedded planar graphs. It is still open whether there exists a polynomial time algorithm for planar graphs which has an exponential number of embeddings. In this thesis, we investigate the problem of drawing planar graphs with as much symmetry as possible. We present a polynomial time algorithm for finding a maximally symmetric drawing of a planar graph. A planar graph is a graph which can be drawn on the plane without edge crossings. It plays an important role in graph theory, graph algorithms, and graph drawing. In order to construct a maximally symmetric drawing of a graph, we need two steps. The first and the most important step is to find a symmetry in a graph. The second step is to display the symmetry. First, we suggest a new model for planar symmetric drawings of planar graphs. We define planar automorphism which can be displayed as a symmetry of a planar drawing of a planar graph. We also define upward planar automorphism which can be displayed as a symmetry of an upward planar drawing of a digraph. Next, we present algorithms for drawing series-parallel digraphs with as much symmetry as possible. Algorithms for finding upward planar automorphisms and constructing symmetric drawings of a series-parallel digraph are presented. We present several variation of drawing algorithms with visibility drawings, bus-orthogonal drawings and polyline drawings. All algorithms run in linear time, hence are optimal. Finally, we present an algorithm for finding planar automorphism group of maximum size of a planar graph. We use connectivity, that is to divide a planar graph into biconnected components and then divide each biconnected component into triconnected components. By constructing BC tree and 3-block tree and applying reductions, the computation of planar automorphism group of maximum size of a planar graph can be performed in O(n2) time, where n is the number of vertices. It is the first polynomial time algorithm. Based on this algorithm, we also present algorithm for symmetric drawings of planar graphs.