수학의 적용과 그 존재론적 함축

Abstract

우리는 π 와 같은 수나 "반지름이 r인 구의 표면적은 이다"와 같은 명제들을 접하면서 수학적 존재자의 존재와 수학적 명제의 진리에 대한 믿음을 갖게 된다. 그러한 믿음을 어떻게 정당화할 수 있는가? 이것이야말로 수학 존재론이 궁극적으로 추구해야 할 문제일 것이다. 종전에 이 문제는 수학의 본성을 탐구하고 이를 통해 수학의 기초를 정초하고자 하는 기획의 일부에 속했으나, 최근에는 다른 방향에서의 접근이 시도되고 있다. 본 논문은 이러한 흐름의 연장선상에 위치하는 것으로, 수학적인 것이 수학 외적(外的)인 것과 맺는 관계를 통해 수학 존재론에 접근하고자 하는 의도에서 쓰여진 것이다. 수학 존재론의 입장들은 보통 플라톤주의와 반(反)플라톤주의로 나뉜다. 플라톤주의의 주장을 대변하는 대표적인 논변으로는 필요불가결성 논증이 있다. 이 논증은 자연 과학에서 수학이 차지하는 역할을 근거로 해서 수학의 존재를 주장하는 것을 골자로 하고 있다. 이를 통해 수학의 적용이라는 문제가 존재론에서 중요한 위치를 차지하고 있다는 점을 확인할 수 있다. 여기에서 적용 이란 수학적인 것을 적용항으로 하고, 수학 외적인 것을 피적용항으로 해서 맺어지는 이항 관계라 할 수 있다. 이때 적용항인 수학적 대상은 물리적 속성으로 해석되는 과정을 거치고, 또 효율적 으로 사용됨으로써 피적용항으로부터 결론을 도출하도록 하는 역할을 한다. 수학의 적용에 대한 설명으로는 분석적 원리와 종합적 원리가 있다. 분석적 원리는 적용항과 피적용항이 보편과 특수의 관계나 연역 추론의 형식을 이루는 것을 본위로 하는데, 여기에서 적용의 관계는 집합과 원소의 경우처럼 적용항이 피적용항을 포섭하는 것으로서 설명된다. 프레게는 산술이 "가장 일반적인 속성"을 담고 있기 때문에 연역 추론에서의 대전제와 같은 명제를 제공하는 역할을 한다고 보고 있으며, 구조주의자들은 산술이 모든 대상들을 포함할 수 있는 가장 보편적인 구조를 제공한다는 관점을 취하고 있다. 반면에 종합적 원리에서는, 적용이 적용항과 피적용항이 독립성을 유지하면서 유비를 통해 새로운 어떤 것을 생성하는 것으로서 설명된다. 이때 적용항과 피적용항 중 어느 것도 다른 것에 선행하여 그것을 결정하는 역할을 하지 않으며 또 어느 하나가 다른 하나를 일방적으로 포함하지도 않는다. 바로 이 점에서 종합적 원리는 분석적 원리와 큰 차이를 가진다. 종합적 원리는 형식적인 국면과 실질적인 국면을 모두 포함하는 유비의 산물로서의 수학적 모형을 바탕으로 한다. 먼저 형식적인 국면에서의 유비는 이론 수준의 구조와 모형의 구조가 부분 준동형을 이루는 것으로서 설명된다. 물론 형식적 유비만으로는 어떤 하나의 모형이 도입되는 계기나 그 모형이 담고 있는 특정한 구조나 관계가 채택되는 마땅한 이유가 제시되지 않는다. 이러한 난점은 모형의 실질적인 국면에 의해 보완될 수 있다. 모형은 수학적 기술을 목적으로 하는 이상체라는 특성을 가지며, 수학의 적용은 바로 그러한 모형을 대상으로 해서 이루어진다. 이러한 적용의 원리에 대한 고찰을 통해, 수학적 존재자의 특성에 관한 함축을 살펴볼 수 있다. 우선 이 문제를 내재적으로 접근할 수 있는데, 이때 수학적 존재자의 존재는 모형이나 그것을 포함하는 과학 이론이라는 "언어적 틀"에 의해 결정되는 것으로서 설명된다. 그런데 모형이 그 안에 포함되어 있는 대상을 기술하는 수학적 존재자에 "존재론적으로 개입"하지는 않는다. 따라서 이러한 접근만으로 수학적 존재자에 존재론적 위치를 부여하는 데에는 다소 무리가 따른다. 다른 한편으로 수학적 모형과 수학적 존재자가 각기 다른 영역에 위치하면서 특정한 관계를 맺는다는 전제 하에서, 수학 존재론을 외재적으로 접근하는 방법이 있다. 수학적 존재자는 모형화되는 대상의 특정한 속성을 코드화하며, 이를 통해 대상이 취할 수 있을 가능한 상태를 지시한다고 생각해볼 수 있다. 이때 모형은 가능적 존재자라는 이유에서 대개 비존재로서 받아들여진다. 그렇지만 가능자가 인간의 마음을 통해 구성된다는 사실을 염두에 둘 때, 그것을 단순히 비존재라 보기는 힘들다. 따라서 가능적 존재자에 대해 시·공적 존재나 인과 관계에의 참여가 아닌 다른 식의 존재론적 기준, 다시 말해 또 다른 언어적 틀 을 제시할 필요가 있다. 이러한 존재자가 수학적 존재자의 지시 대상이 된다는 점을 고려할 때, 수학적 존재자에는 플라톤주의가 상정하는 초실재가 아닌, 인간의 마음에 의해 구성된 것으로서의 실재라는 지위가 부여될 수 있다. 이는 수학의 적용이 극단적인 플라톤주의나 반플라톤주의가 아닌, 구성주의적 존재론을 지지한다는 점을 보여준다. ; Does π exist? If so, where and how does it exist? How beliefs on the "mathematical existence" could be justified? It is these questions about the mathematical objects that are one of the main problems in the philosophy of mathematics. This study is about those ontological questions, especially concerned with application of mathematics to empirical objects or other things. Traditionally, there have been two views on the matter: platonists believe that mathematical entities exist mind-independently, while anti-platonists do not. According to the platonists, like Quine and Putnam, mathematical objects should be regarded as existent: it is due to the "indispensability" of their application to science(Indispensability Argument). Though the argument is not so robust in logical sense, it shows us one way to examine whether mathematical object exists or not, and if it does, how does it exist: to consider how the mathematical is applied to the non-mathematical. At first, "to apply" is defined syntactically and semantically. When an "applican" is applied to an "applicandum", the two can be said to have a binary relation, where the former is interpreted as for the latter. Then the applican can be used to derive a conclusion efficiently from the applicandum. With this definition, one can see two ways in which mathematical objects or propositions are applied. One is "analytical," where the applican and applicandum are related deductively as the universal and the particular. Frege saw the relation as that of a set and its element. According to him, mathematical objects express "the most general property" of all kinds of entities, so mathematical statements play a role of a premise in a syllogism. In the case of mathematical structuralists, like Shapiro, mathematical structures do those jobs, providing the most general and pre-determined forms in which any objects could be placed. Despite of their plausibility, these explanations have are limited to some simple cases of application, e.g. counting or measuring. The other way to explain the application is "synthetical," which means that the applicandum and applican form an analogy, both material and formal, generating the "mathematical model." The mathematical model, e.g. center of mass or rigid body, is a product of partial homomorphism(formal aspect) and idealization(material aspect), constructed from both of the applicandum and applican. Here idealizing the original entities(in general, physical or empirical things) plays a central role in the application, and the idealization itself is operated for the purpose of mathematization: once an object is idealized, its mathematical structure can be introduced. With these considerations, one can find some ontological implications on the property of mathematical entities. In Carnap s term, there are "internal" and "external" questions in the ontology of an entity. For an internal approach, the ontological status of a mathematical entity can be determined by its "linguistic framework," such as mathematical model or scientific theory. But, because it doesn t imply any existential commitment to the objects which describe things included, there hardly can be ontological status to mathematical entities. An external approach to ontology reveals another framework: in a model, encoding the properties or referring to the possible states of the modelled, mathematical entity can be constructed to have its proper references. The ontological status of those references depends on the linguistic framework, e.g. that of the possibilia. That means, one could present an ontological criteria to an entity, other than spatio-temporality or causal relation. It is possible to diversify or relativize frameworks, consequently, ontological status, but the diversity or relativity could be reduced to publicity or rigid co-referentiality by the human-minds. In conclusion, it is the constructivistic view on the ontological status of mathematical entities that could give us an alternative to the full-blooded platonism or radical anti-platonism(say, nominalism): the application of mathematics tells us that there exist mathematical entities as mind-constructs.