초등 수학 교과의 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 나타나는 오류 연구

Abstract

수학에서 여러 가지 문제를 해결하는 기본적인 목적은 수학의 지식을 실생 활에 밀접하게 접근시키고, 수학적인 활용을 크게 하여, 논리적으로 생각할 수 있는 습관을 터득하게 하는 것에 있다고 할 수 있다. 이를 위해 초등 수학 교육 과정에서는 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙 등을 이해하고 여러 가지 문제를 논리적으로 사고하고 합리적으로 해결하는 수학적 사고력과 문제 해결력의 육성에 초점을 두고 있다(교육부, 1994). 한편 문제 만들기는 수학적 내용에 대한 개념을 새로운 관점에서 보게 하여 이해를 깊게 하는데 도움을 줌으로써 수학적 사고력과 문제 해결력을 기를 수 있는 활동 중의 하나이다. 특히 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기는, 사칙 연산의 완성이라고 할 수 있는 혼합 연산에 대하여 분석적이고 논리적으로 사고할 수 있는 기회를 제공하여 연산의 개념적 의미, 연산과 연산의 관계와 실생활과 혼합 연산의 관계에 대하여 생각할 수 있는 경험을 갖게 하는 활동으로, 수학 학습에서 중요시되어야 하고 구체적인 교수 방법에 대해 연구되어야 한다. 따라서 본 연구는 초등학교 4, 6학년 아동의 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 나타나는 오류를 분석하여 범주화하고 오류 유형별 빈도를 알아봄으로써 이 활동에 대한 아동의 지식과 수행 능력을 파악하여 수학적 사고력과 문제 해결력을 기르기 위한 혼합 연산과 문제 만들기의 바람직한 교수 학습에 대한 지침을 제공하는데 그 목적이 있다. 이러한 목적으로 본 연구에서 제시한 연구 문제는 다음과 같다. 1. 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 학년별, 문항별 오답율은 어떠한가? 2. 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 나타나는 오류 유형은 어떠한가? 3. 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 오류 유형별 빈도는 어떠한가? 이와 같은 연구 문제를 조사하기 위하여 사용된 검사 도구는 ‘자연수의 혼합 계산’과 ‘여러 가지 문제’ 단원에 제시된 혼합 연산 문제 가운데 2단계의 혼합 연산의 대표적인 문제 10개로, 서울 성북구에 위치한 S 초등학교 4학년과 6학년 155명을 대상으로, 혼합 연산식을 제시하고 이것을 적용할 수 있는 문제를 구성하게 하였다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 초등학교 아동의 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 오답율은 학년별로 4학년이 63.2%, 6학년이 45.6%로써 평균 54.3%로 비교적 높게 나타났다. 또한 문항별로 오답율을 살펴보면 단순 연산과 복합 연산이 혼합된 문제에서 오답율이 높았고, 숫자의 제시 순서와 연산 순서가 일치하지 않는 문항에서도 비교적 오답율이 높았다. 대체적으로는 4학년이 오답율이 높았으나 문항에 따른 오답의 발생 양상은 4학년과 6학년이 비슷한 형태를 보이고 있었다. 둘째, 아동의 오류 유형은 다음과 같이 나타났다. · 잘못된 연산 순서의 적용: 연산 순서에 대한 이해가 부족하여, 숫자 순서대로 문제를 구성하거나 임의의 순서로 문제를 구성하는 오류 · 1단계 연산 개념의 오류: 연산의 순서를 이해하고 문제를 구성하지만, 1단계 연산의 개념적 의미의 이해 부족으로, 연산이 적용되는 상황을 구성하지 못하는 오류 · 2단계 연산 개념의 오류: 1단계 연산의 상황은 잘 구성하였으나, 연산과 연산의 관계에 대한 이해 부족과 연산이 적용되는 상황에 대한 제한적인 개념으로, 2단계의 연산이 적용되는 상황을 구성하지 못하는 오류 · 질문 제시의 오류: 혼합 연산이 적용되는 상황은 잘 구성하였으나, 혼합 연산의 결과에 대한 논리적인 사고의 부족과 문제 만들기에 대한 경험의 부족으로, 혼합 연산의 결과를 질문으로 제시하지 못한 오류 · 불합리한 상황 구성: 구성한 문제가 주어진 혼합 연산을 적용하는 문제이기는 하나, 혼합 연산과 실생활과의 관계에 대한 이해 부족으로, 현실적으로 불가능한 상황을 구성하는 오류 · 무응답: 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기 문항에 대하여 응답이 없는 오류 셋째, 오류 유형별 빈도를 조사한 결과 2단계 연산 개념의 오류가 전체 오류의 40.3%로 가장 많이 나타났으며, 잘못된 연산 순서 적용이 20.1%, 1단계 연산 개념의 오류가 16.5%, 질문 제시의 오류가 전체 오류의 15.9%, 불합리한 상황 구성이 3.9%, 무응답이 전체 오류의 3.1%를 차지하였다. 이로써 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 오류를 범하는 아동은 주로 혼합 연산을 구성하는 연산들의 관계에 대한 논리적인 사고가 부족하고 연산이 적용되는 상황에 대한 제한적인 개념을 갖고 있다고 할 수 있다. 또한 잘못된 연산 순서를 적용하여 문제를 구성하는 경우, 1단계의 연산 상황을 잘 구성하지 못하는 경우, 혼합 연산의 결과로서 질문을 제시하지 못하는 경우, 실생활과 별개의 혼합 연산 상황을 구성하는 경우, 응답을 하지 않는 등의 오류로 혼합 연산을 적용하는 문제를 잘 구성하지 못함을 알 수 있다. 한편 학년별로 오류 유형의 발생 양상을 비교해보면 4학년과 6학년이 비슷한 형태를 보이고 있다. 따라서 학년이 올라감에 따라 계산 능력은 향상됐을 지 모르나, 연산과 혼합 연산의 기초 개념과 원리에 대한 이해를 확인하고 결손을 보충할 교수 학습의 기회가 없었음을 시사하고 있다고 본다. 결론적으로, 혼합 연산을 적용하는 문제 만들기에서 학년별, 문항별 오답율과 오류 유형, 오류 유형별 발생 빈도를 알아봄으로써 아동은 혼합 연산에 대한 이해 즉, 연산 순서, 혼합 연산을 이루는 각 연산들의 개념적 의미, 연산과 연산의 관계, 혼합 연산과 실생활과의 관계에 대한 이해 등이 부족함을 알 수 있었다. 특히 혼합 연산을 이루는 연산과 연산의 관계에 대한 논리적인 사고의 부족과 연산이 적용되는 상황에 대한 제한적인 개념을 가진 아동이 많았으며, 연산 순서, 혼합 연산을 이루는 각 연산들의 개념적 의미, 혼합 연산과 실생활과의 관계에 대한 이해가 부족한 아동도 비교적 많음을 알 수 있었다. 따라서 이러한 결과를 통해 혼합 연산과 문제 만들기의 바람직한 교수 학습에 대한 지침을 제공할 수 있을 것이다. 수학적 사고력과 문제 해결력을 신장하기 위해, 혼합 연산의 교수 학습 과정에서는 논리적으로 사고하는 습관을 통해 연산과 연산의 관계에 대한 이해를 하도록 해야 할 것이다. 또한 연산 순서의 원리에 대하여 암기가 아닌 탐구를 통해 발견함으로써 이해하게 하고, 사칙 연산에 대한 개념적 의미의 이해와 실생활과 수학적 개념의 관계에 대한 이해를 위해, 수학적 개념이 활용되는 실제적이고 구체적인 맥락 속에서의 교수 학습 지도가 되어야 할 것이다. 나아가 수학적 개념에 대한 이해를 깊게 하는 문제 만들기가 교육과정에 좀 더 확대되어야 할 것이다. ; Problem-posing is a important activity for mathematical thinking and problem solving. Problem-posing activity provide us with important insight into the children s understanding of mathematical concept and process, as well as development of student s mathematical thinking and problem solving Especially, posing word problems for mixed operations provide us with important insight into the children s understanding of concept of operation, relationship between the first-step-operation and the second-step-operation, relationship between mixed operation and real world. Therefore, this study reviewed the preceding studies of problem-posing and mathematical errors, analyzed the errors that students make in posing word problems for mixed operations and presented the characteristics of them with analyzed model. The questions of this study were as followings: 1. How many students give the wrong answers to each grade and type of the posing a word problems for mixed operations? 2. what are the error patterns in posing a word problem for mixed operations? 3. What are the frequency of the each error pattern in posing a word problem for mixed operations? To investigate these questions, the word problems for mixed operations were posed by 155 children of the 4th, 6th grades at S elementary school, Sung-buk ku, Seoul. Test materials were drawn from the mathematics text book(the 4th grade). The results were as followings: First, Students gave the wrong answers in 54.32% of all problems. It can be said that students have difficulties in posing a word problem for mixed operations. Second, the error patterns in posing word problems for mixed question were classified as followings: · The incorrect precedence rule-applied error · The first-step-operation-concept error · The second-step-operation-concept error · The question presentation error · Posing an unreasonable context. · No answer Third, The frequency of the each error pattern were as following: The second-step-operation-concept error(40.26%), the incorrect precedence rule-applied error(20.07%), the first-step-operation error(16.47%), the question presentation error(15.91%), posing an unreasonable context(3.92%), no answer(3.09%) Therefore, among the error patterns, the second-step-operation error was occurred most frequently, which was because of the lack of logical understanding of relationship between the first-step-operation and the second-step-operation. And posing a limited range of problems for operation was the another cause of the second-step-operation error. Besides, students made many errors probably due to routine memorizing of the precedence rule, poor consideration about the result of mixed operations, little experiences in posing problems, and the lack of understanding of relationship between mixed operations and real world. In conclusion, the analysis of errors involved in posing a word problem for mixed operations can help teachers diagnose student s difficulties of posing a word problem for mixed operations. and it can be a guide for planning instruction of mixed operation and of problem-posing . This study may have the following implications. 1. In mixed operation instructing, teachers must make an effort to help the students understand the concept of operation, relationship between the first-step-operation and the second-step-operation. 2. Since problem-posing provide students with development of understanding about mathematical concept, teachers should give them more experiences of posing problems in mathematics learning. 3. The mathematics learning in elementary school should not be mental activities of the brain, but rather be authentic activities in situation which the mathematics is used and developed.