A Geometric approach for the intersections of cyclides and spheres

Abstract

본 논문에서는 사이클라이드(Cyclide)와 구(Sphere)의 모든 가능한 형태의 교차 곡선을 구할 수 있는 효과적인 기하학적 방법에 대해 연구 하였다. 현재 상용 중인 대부분의 CAD 시스템이나 Solid 모델링 시스템은 여러 곡면의 교차 문제를 해결 할 것을 요구한다. 현재 많은 주목을 받고 있는 사이클라이드는 blending 곡면으로써 그 역할이 증대 되고 있으며, 대부분의 이차 곡면과 토러스(Torus)등을 포함하는 Canal 곡면으로 정의 되기 때문에 사이클라이드에 관한 교차 문제를 해결 하는 것은 일반적인 곡면들 사이의 교차 문제를 해결하는 방법을 제공해 준다. 그 첫 단계로 가장 기본이 되는 구와의 교차 곡선 문제를 해결 하였으며, 본 방법을 임의의 평면(plane)에 적용하여 사이클라이드와 평면의 교차 곡선에 대한 만족 할 만한 결과를 얻었다. 주어진 사이클라이드와 구에 대하여 사이클라이드의 Configuration space를 정의하여 구의 중심과 사이클라이드의 offset의 위치 관계에 의해 모든 정칙 곡선과 특이 곡선을 구별 하였고, 각 곡선이 포함하는 루프의 개수도 구하는 결과를 얻었다. 충분히 큰 반지름을 갖는 구가 offset인 경우에는 사이클라이드를 포락면(envelope)으로 간주하여 변화하는 반지름을 갖는 생성원(generator)인 구와 주어진 구의 중심들간의 거리와 각각의 반지름으로 정의된 적당한 거리 함수를 이용하여 교차 곡선의 모든 형태를 결정하고 곡선의 성분의 개수를 구할 수 있는 좋은 결과를 얻었다. 평면의 경우는 무한한 반지름을 갖는 구로써 정의 할 수 있으므로, 위의 방법을 적용하여 사이클라이드와 평면의 교차 곡선 문제에 대한 만족할 만한 결과를 얻을 수 있었다. 본 경우에서는 평면의 기저점과 구의 중심이 이루는 벡터와 평면의 법선 벡터의 내적을 이용하여 부호를 갖는 거리함수를 정의하였다. ; In this paper, we present an efficient geometric method that can be used to find all possible cyclide/sphere intersection curves. Any CAD system requires to solve various surface intersection problems. A cyclide contains several quadrics(plane, sphere, cylinder, cone) and torus and it is a special case of a canal surface. For given cyclide and sphere, one surface is an obstacle and the other surface is the envelope surface of moving sphere. We can classify all the intersection loops including degenerate circles and singular contact point based on a Configuration space(C-space) method. Since a plane can be considered as a sphere which has infinite radius, we applied our method to cyclide/plane intersection problem.