Heights on curves

Abstract

체 K가 product 공식을 만족하는 적당한 절대값들의 집합 M_K를 가지며 C는 K에서 정의된 사영곡선이라 하자. 이때 c MAPSTO {hath}_c 로 주어지는 P_i{c_0}(C) →{ C상의 실수값 함수 }/O(1) 사이에 자연스러운 준동형사상이 존재한다. 한편 φ:C_1 →C_2 가 사영곡선들 사이의 사상이면 c∈P_i{c_0} LEFT ( C_2 RIGHT ) 에 대하여 φ*c 가 c의 상 일때 {hath}_ φ*c = {hath}_c CIRC φ+ O(1) 을 만족한다.

C가 적당한 절대값들의 집합 M_K를 가지는 체 K 상에서 정의된 사영곡선이라 하고, {Z_0} (C)_K 가 C상에 차수가 0 이고 support가 특이점을 포함하지 않는 0-cycle들의 집합이라 하자. 이때 D∈{Z_0} (C)_K 에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 C상에 실수값 함수 λ_D가 유일하게 결정된다. (1) D MAPSTO λ_D 로의 대응은 준동형사상이다. (2) 만약 D=(f)가 principal이면 λ_D = λ_f~mod~GAMMA 이다. (3) ψ:V →W 가 사영곡선들 사이의 사상이고 Y∈{Z_0} (W) 에 대하여 ψ^-1(Y)∈{Z_0} (V) 이면 λ_{ψ^-1}(Y) = λ_Y CIRC ψ ~mod~ GAMMA 이다. 이처럼 표준화된 함수들 λ_D를 D에 대응하는 Neron함수라 부른다.

; Let C be a projective curve over a field K with a proper set of absolute values M_K satisfying the product formula. Then there exists a natural homomorphism P_i{c_0}(C) →{ real valued functions on C}/O(1) denoted by c MAPSTO {hath}_c. For φ:C_1 →C_2 a morphism of projective curves and c∈P_i{c_0}(C) we have {hath}_ φ*c = {hath}_c CIRC φ+ O(1) where φ*c is the pull back of c. Let C be a curve defined over a field K with a proper set of absolute values M_k. Let {Z_0} (C)_K be the set of zero cycles of degree zero on C rational over K whose supports are disjoint from the singular points. Then for each D∈{Z_0} (C)_K, there exists a real valued function λ_D on C which is uniquely determined up to constant functions GAMMA with the properties: (1) The association D MAPSTO λ_D is a homomorphism mod GAMMA. (2) If D = (f)is principal, then λ_D = λ_f~mod~GAMMA. (3) If ψ:V →W be a morphism of projective curves defined over K, and let Y∈{Z_0} (W) such that ψ^-1(Y)∈{Z_0} (V), then λ_{ψ^-1}(Y) = λ_Y CIRC ψ ~mod~ GAMMA. Functions λ_D normalized a s such are called the Neron functions associated with D.