기하학적인 물체에 대한 형태 변환 알고리즘

Abstract

형태 변환(morphing)이란 하나의 물체를 다른 물체로 바꾸어주는 일련의 과정을 보여주는 기법으로 현재 가장 많이 이용되는 그래픽 특수 효과 중의 하나이다. 이러한 기법은 현재 컴퓨터로 처리되는 모든 애니메이션을 가능하게 하는 핵심 기술이기도 하다. 현재까지 많은 종류의 형태 변환 알고리즘이 개발되었다. 컴퓨터 그래픽스 분야에서 사용하고 있는 대부분의 형태 변환의 기법들은 주어진 물체를 수학적인 함수를 사용하여 모델링하고 두 물체 사이에 변환의 기준이 되는 대응점들을 지정하여 이러한 대응점 사이의 변환 과정을 함수의 계산을 통해 일일이 보간(interpolation)하는 방법들이다. 따라서 이러한 형태 변환 기법을 이용하여 물체의 움직임을 표현하기 위해서는 복잡하고 많은 함수의 계산을 하지 않을 수가 없다. 이러한 방법들은 대응점간의 관계를 중요하게 고려하기 때문에 국부적으로는 적합한 결과이지만 전체적으로 물체의 특성을 잘 표현하지 못하는 문제점을 야기하기도 한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 여러 가지 대안들이 개발되고 있다. 대부분의 해결 방법은 기존의 함수를 변형시키거나 개선시키는 방법, 혹은 새로운 개념을 가지는 함수를 도입하는 방법들이다. 그러나 기하학적인 관점에서 물체간의 형태 변환을 시도하여 문제점을 해결하려는 연구가 시도되었는데 이진 트리를 사용하여 두 개의 다각형간의 형태 변환을 유도하는 새로운 방법이었다. 1994년에 발표된 이 방법에서 대상으로 하는 두 물체는 다각형이었고, 각 다각형을 이진 트리로 표현하여 이진 트리의 회전 연산(rotation operation)을 사용하여 형태 변환을 하는 방법이었다. 그러나 이 알고리즘에는 대상이 되는 두 개의 다각형이 일반적인 단순 다각형이 아니라 서로 대응하는 각 변이 모두 평행한 특수한 경우의 다각형(side-parallel polygon)으로 제한되었다. 본 논문에서는 기존의 알고리즘에서 가지고 있던 문제점인 제한적인 다각형에서 그 대상을 확장하여 모든 단순 다각형에 적용이 가능한 형태 변환 알고리즘을 제안한다. 실제로 많은 물체들을 컴퓨터 내부에서 처리하기 위해서 2차원 물체인 경우는 다각형으로, 3차원 물체는 다면체, 혹은 다각형 메쉬로 근사(approximation)하는 방법을 사용한다는 현실을 고려할 때 일반적인 단순 다각형에 대한 형태 변환 알고리즘은 곧 모든 물체로 확장 될 수 있는 가능성을 내포하고 있기 때문에 의미가 있는 작업이라고 할 수 있다. 첫 번째 방법이 사진 트리(quad tree)를 이용한 방법이다. 2차원 물체를 사진 트리로 구성하고 사진 트리의 연산을 사용하여 두 물체 사이의 형태 변환을 유도하는 방법이다. 사진 트리는 2차원 평면상의 이미지를 표현하는데 적합한 것으로 잘 알려져 있는 자료구조이다. 일반적으로 2차원 이미지는 픽셀의 집합으로 된 메쉬 상에 주로 표현되는 것을 고려할 때 이러한 메쉬를 재귀적으로 분할하여 얻을 수 있는 사진 트리는 2차원 물체를 처리하기에 아주 적절한 형태의 자료 구조라고 할 수 있다. 이 알고리즘은 사진 트리의 삼차원 확장인 팔진 트리를 사용하여 일반적인 3차원 물체에 모두 적용이 가능한 형태 변환 알고리즘으로 확장되었다. 두 번째로 생각해 본 접근 방법은 다각형 자체의 특성을 이용하는 삼각 분할을 이용하는 것이다. 삼각 분할이란 점 집합, 다각형, 혹은 다면체 등의 대상을 분할 후의 인접 영역이 정점이나 저차원의 면만을 공유하도록 삼각형 혹은 사면체로 분할하는 것이다. 특별히 본 논문에서는 유사 삼각 분할이라는 새로운 개념을 도입하여 이를 사용한 형태 변환 알고리즘을 제시하였다. 마지막으로 선형 단조 다각형 분할 기법을 사용하는 형태 변환 알고리즘을 제안하였다. 다각형의 모양을 잘 유지하기 위해서 주어진 다각형을 일정한 성질을 갖는 부분 다각형으로 분할한 후에 그 부분 다각형들의 위치 관계를 이용하여 형태 변환을 유도하는 알고리즘이다. 각 알고리즘은 실제로 구현하고 그래픽 라이브러리를 사용하여 가시화 하였다. 삼각 분할을 이용한 두 개의 알고리즘은 변환 과정에서 언제나 적합한 형태의 다각형을 생성할 수 있고, 사진 트리를 이용한 알고리즘은 2차원과 3차원의 모든 물체에 제한 없이 적용이 될 수 있다. ; Morphing, a technique which transforms one shape into another, is one of the most frequently used fundamental operations in computer graphics, and is a key technique that makes all the computer animation possible. Many morphing algorithms have been developed. Most of them currently used in the field of computer graphics use mathematical functions to model given objects, assign corresponding points to be used for morphing between two objects, and finally interpolate the parameters of the corresponding points. Consequently, a tremendous amount of calculations involving complex functions is inevitable in order to represent the deformation of objects. Furthermore, these morphing algorithms, as a result of exclusively considering the relationship between the corresponding points, tend to easily violate the global properties of a given object, although the geometry of the interpolated shape remains faithful locally to the original shape. To overcome such problems, numerous alternatives have been proposed, such as the modification or improvement of pre-existing functions or adopting new mathematical functions. There was also an attempt to solve these problems using geometric approach, that is, morphing one polygon into another using binary tree operations. In this method, proposed in 1994, a polygon was represented as binary trees and morphed through the rotation operation of binary tree, but the object was restricted to the side-parallel polygons, which have the same number of sides and whose corresponding sides are parallel. In this thesis, we propose three new morphing algorithms. In the algorithm Quad_Morphing, we construct quad trees to represent the two dimensional objects, and morph them through the general operations of quad trees. Quad tree, the hierarchical structure based on the principle of recursive decomposition of planes, is appropriate for the representation of two dimensional image data. The algorithm Triangulation_Morphing uses the triangulation of a polygon. Triangulation is a planar subdivision in which all bounded regions are triangles. We define a new concept, the similar triangulation, to morph between two simple polygons. Finally, the third algorithm Mono_Morphing uses the decomposition of linear monotone polygons. To maintain the original shape of the polygons, we decompose the given polygon into linear monotone polygons and morph the given polygon using the positional relationship of the linear monotone polygons. The proposed algorithms were implemented and visualized with graphic library. We found that the two algorithms using triangulation can produce valid polygons in every step of the deformation process and the algorithm using quad trees are applicable to all 2 and 3 dimensional objects.