Cobordisms and invariants of symplectic quotients

Abstract

본 논문에서는 심플렉틱 다양체에 헤밀토니안 토러스 작용이 있을 때, 모멘트 사상(moment map)에 의해 유도된 심플렉틱 상공간(symplectic quotient) 간의 코보디즘과 그에 대한 불변량에 대해 알아보려고 한다. 심플렉틱 다양체 (M, w)에 토러스 T-작용이 헤밀토니안이고, 대응되는 모멘트 사상 ц가 proper 라고 하자. 그러면 wall-crossing 코보디즘을 이용하여, ц의 서로 다른 두개의 정칙값(regular value)에 대한 각각의 심플렉틱 상공간 위에서 M의 equivariant 코호몰로지 류의 Kirwan 사상의 상(image)의 적분값의 차는 횡단경로(transverse path)에 독립적인 불변량임을 얻었다. 또한, 헤밀토니안 T-다양체들이 코보던트하면 각각의 심플렉틱 상공간들도 코보던트하다는 사실과, 심플렉틱 구조(symplectic structure) w 에 의해 만들어진 심플렉틱 상공간 상의 부피형식(volume form)의 적분은 헤밀토니안 T-다양체들 간의 코보디즘에 대해 불변임을 증명하였다. 마지막으로, (M, w)를 헤밀토니안 S^1-작용을 가지는 심플렉틱 다양체라 하고 그에 대응되는 모멘트 사상이 proper이고 아래로 유계라 하자. 그러면, S^1에 의한 고정점 집합의 연결성분에 대한 법다발들은 적당한 심플렉틱 구조와 proper이고 아래로 유계인 모멘트 사상을 가지게 되고, 이때 M은 이런 법다발들의 직합(disjoint union)과 코보던트임을 보였다. 따라서, 이 코보디즘으로 부터 심플렉틱 상공간 간의 코보디즘과 그에 대한 불변량을 얻었다.;Let (M,ω) be a symplectic manifold on which a torus T acts in Hamiltonian fashions, with a proper moment map μ. We investigate the invariants of symplectic quotients by using wall-crossing cobordisms. Also, we prove that cobordism on the Hamiltonian T-manifolds induces cobordism on symplectic quotients and that the integral of volune form on a symplectic quotient is an invariant of cobordism on the Hamiltonian T - manifolds. Let (M,ω) be a symplectic manifold with a Hamiltonian S^1 - action and let the associated moment map μ be proper and bounded from below. We show that M is cobordant to the disjoint union of normal bundles over the fixed points, with appropriate symplectic structures and moment maps. We also investigate cobordism on symplectic quotients and induce an integration formula on them.