A Study on Generalised Ornstein-Uhlenbeck and COGARCH(1,1) process

Abstract

Various time series models such as ARCH, GARCH are suggested for handling stock related data. Time series model can be divided by two types; discrete and continuous type. Recently, continuous times series model is drawing considerable attention due to its advantage of predicting irregularly spaced or highly frequent data. Ornstein-Uhlenbeck model is one of the continuous time series models, which was introduced by Uhlenbeck and Orstein(1930), and is researched and generalized in various ways. This continuous model not only possesses advantages in analyzing stock data but also better explains the variability and heavy tail of the data. In this thesis, the Generalised Ornstein-Uhlenbeck process which is made up of a bivariate Lévy process and the special case of Generalised Ornstein-Uhlenbeck, COGARCH(1,1) model, are handled. For verification, a discrete time form of COGARCH(1,1) is introduced in fixed interval and additional conditions were assumed for stationarity and geometric ergodicity. With more conditions given in the latter of this thesis, these properties are proven to be satisfied regardless of the size of the time intervals in COGARCH(1,1) model. In this way, the exponential ergodicity of the primitive continuous model, COGARCH(1,1), is shown. ;금융 자료에 대한 시계열 모형으로 ARCH, GARCH 등 다양한 모형들이 제시되고 있다. 시계열 모형에는 크게 이산형과 연속형 모형이 있으며 최근에는 비등간격 자료나 단기간 빈도 횟수가 높은 자료에 대한 예측이 가능한 연속형 모형이 관심을 받고 있다. 그 중 Uhlenbeck와 Orstein(1930)에 의해 소개된 연속형 시계열 모형인 Ornstein-Uhlenbeck 모형은 다양한 방법으로 일반화되어 연구가 되고 있다. 이 연속형 모형은 금융 자료에 대한 이산형 모형의 장점을 내포하고 있으면서 금융 자료의 변동성과 heavy tail에 대해 더 잘 설명하고 있다. 본 논문에서는 Lévy process를 이용하여 일반화 된 Generalised Ornstein-Uhlenbeck 모형과 이 모형의 특별한 경우인 COGARCH(1,1) 모형을 다루었다. 증명을 위하여 고정된 간격에서의 이산형 모형으로 바꾸었고 stationarity와 geometric ergodicity를 위해 모형에 조건을 주었다. 후에 주어진 조건하에서 이 성질들이 시간 간격의 크기와 상관 없이 만족함을 보여줌으로써 원래의 연속형 모형인 COGARCH(1,1) 모형이 exponential ergodicity가 됨을 증명하였다.