수열의 극한에 대한 예비교사와 현직교사의 MKT분석

Abstract

This research has analyzed knowledge of preservice and inservice teachers by analyzing preceding research on the limit of sequence based on specific subject, namely, the MKT concept categorizing knowledge of teacher on mathematics, and has set the following research issues to get pedagogical implications on education of preservice teachers and reeducation of inservice teachers for class specialty. 1. What are characteristics of the Subject Matter Knowledge(SMK) of preservice and inservice teachers for teaching the limit of the sequence ? 2. What are characteristics of the Pedagogical Content Knowledge(PCK) of preservice and inservice teachers for teaching the limit of the sequence ? 2.1 What are characteristics of Knowledge of Content and Students(KCS)? 2.2 What are characteristics of Knowledge of Content and Teaching (KCT)? In order to solve the research issues like this, this research has divided the category of teacher's knowledge into Subject Matter Knowledge(SMK), Knowledge of Content and Students(KCS) and Knowledge of Content and Teaching (KCT), and has developed question items for finding out MKT on the limit concept of sequence . The frequency analysis of the questionnaire collected by carrying out a survey with the target of 51 preservice teachers and 27 inservice teachers was executed by utilizing the SPSS for windows 12.0, and characteristics on knowledge of preservice and inservice teachers were analyzed through a percentage of response and correct answers on each question item. The following research results could be obtained regarding the research question 1. The results of analyzing characteristics of Subject Matter Knowledge(SMK) of preservice and inservice teachers on the limit of sequence are as follows. First, there were many cases that preservice teachers don't describe perfectly about intuitive and formal definitions. Compared to this, inservice teachers described perfectly about intuitive definition and accurately described comparatively about formal definition. Second, as a result of confirming an understanding level on the limit concept, most preservice and inservice teachers were rightly recognized in terms of the dynamic limit concept related to 'a case getting closer infinitely'. And it could be known that when considering that the dynamic model is mostly selected as a model explaining the limit concept the most, all the preservice and inservice teachers mainly have dynamic viewpoints on the limit concept of sequence. On the other hand, it was confirmed that though preservice teachers accurately understood that the limit of sequence is not a value of the last clause, not less teachers are understanding the limit as a limited value, a value incapable of reaching and an approximate value. Compared to this, it seemed that inservice teachers are well understanding that the limit of sequence cannot become a limited value, a value incapable of reaching, a value of the last clause and an approximate value. However, all the preservice and inservice teachers had insufficient understanding on the static limit concept. Expecially, it was confirmed that inservice teachers had insufficient understanding on the static limit concept, compared to preservice teachers Third, though all the preservice and inservice teachers are showing a high percentage of correct answers in terms of a question seeking a limit value by understanding structure of a question and applying the limit concept of sequence , some preservice teachers make a mistake in the calculation process or showed an error in applying definition and character of the limit by grasping structure of a question, so it seemed that they are far from perfect in applying it to the limit concept. The following research results can be obtained in terms of the research question 2. The results of analyzing characteristics on the limit of sequence of Pedagogical Content Knowledge(PCK) of preservice and inservice teachers are as follows. First, as a result of analyzing characteristics of Knowledge of Content and Students(KCS) of preservice and inservice teachers on the limit of sequence , after seeing errors related to understanding of the limit concept and the limit value's calculation, all the preservice and inservice teachers could accurately judge or classify it as the same error. In addition, they have accurately answered comparatively in terms of typical errors of students which appear in the process that applies the vibrating sequence and large & small relations of the sequence. However, there was very few teachers who accurately described about what the reason of errors and mis-concept is and why it was classified like that. In addition, preservice teachers didn't understand well on mis-concept about constant progression capable of being generated from intuitive definition, and were far from perfect in the proper correction guidance on errors of students. Second, as a result of analyzing Knowledge of Content and Teaching (KCT) of preservice and inservice teachers on the limit of sequence , most preservice and inservice teachers found out an suitable example for explaining concepts that students think difficultly or found out a suitable question corresponding to the class content. However, they were not grasping accurately about advantages and disadvantages of when teaching the limit concept of sequence by using the coordinate plane and vertical line models, and it seemed that they are far from perfect about what they make a question on sequence related to real life. The following conclusion and implication can be obtained from the research results. Even if the Subject Matter Knowledge(SMK) should be a basis for successful class, the knowledge on the limit concept of preservice teachers are generally insufficient. The knowledge on the limit concept of preservice teachers appeared straightly in the class at school, when they became an inservice teacher. Therefore, preservice teachers need time to newly learn what knowledge they should have as a teacher through diverse approach besides mechanical and simple algorithm that they learned during high school student days. In addition, the curricula of preservice teachers should compose Subject Matter Knowledge(SMK) by providing a class chance that can consider a link between mathematics learned at high school and learning at college. In addition, as preservice teachers don't have many chances to observe students or contact errors, it is not easy to for Pedagogical Content Knowledge(PCK) which is a practical knowledge obtained through class experience at classroom. Accordingly, Knowledge of Content and Students(KCT) could be formed by providing chances that can analyze and think more deeply in terms of difficult that students experience and reasons of errors and mis-concepts, and chances should be prepared to make the Knowledge of Content and Students(KCS) be able to be formed by giving theoretical explanation on effectiveness of various teaching methods as well as actual application opportunities. Inservice teachers appeared to be insufficient compared to other domains in case of Knowledge of Content and Students(KCS) among Pedagogical Content Knowledge(PCK). It is judged that this is because sufficient research time capable of considering the standpoint of students who learn mathematics due much class quantity and preparation and other much business to is not secured. Accordingly, in order to make students be able to get deep understanding on mathematics, inservice teachers should be supported to have sufficient research time such as design of classes. In addition, a chance of reeducation through teacher training should be provided, and a systematic device should be prepared to allow teacher training to be achieved, so that alternatives on theories as well as difficulty or limits, etc. being faced in the field can be suggested. And it is important to provide a chance of reflective practice to teachers by having a chance sharing individual experience and guiding students based on research on teaching materials by making chances of exchange between teachers to be achieved practically. As this research was carried out with the target of 51 preservice teachers and 27 inservice teachers, so it is difficult that the research results are generalized to overall preservice and inservice teachers in our country. In addition, as MKT is practical knowledge and receives an effect by various situations and variables, there are limitations in confirming and assessing the knowledge through the questionnaire. Lastly, a research that seeks an effective teaching method through deduction of more accurate and diverse results by analyzing actual class situations on the limit concept should be achieved.;교사 역할과 비중이 더욱 강조됨에 따라 수업의 질을 높이기 위한 교사 전문성은 늘 화제가 되어 왔고, 전문성을 높이려는 연구가 활발히 진행됨에 따라 교사의 지식에 대한 중요성이 인식되었다. PCK는 1980년대 Shulman에 의해 학생들을 가르치기 위한 교사의 지식의 한 영역으로써 정의된 개념이다. Ball과 그녀의 동료들은 Shulman이 제시한 PCK개념은 범교과적이고 일반적이므로 수학이라는 특정한 교과에서의 교사 지식을 규명하는 것이 필요하다고 보았다. 따라서 수학 교사들이 가져야하는 지식의 개념을 MKT라는 용어를 사용하여 정의하고, PCK를 MKT의 하위 영역으로 간주하여 수학교사 지식 영역을 세분화하였다. 극한은 고등학교에서 직관적인 정의로서 학습되고 있기 때문에 많은 학생들이 어려움을 느끼고 있으며, 교사들 역시 극한 개념이 포함하고 있는 무한 개념에 대해서 명확히 이해하지 못하거나 설명하는데 곤란을 겪는 경우가 적지 않다(박선화, 1998). 대부분의 극한과 관련된 선행 연구는 오류와 오개념을 분석하거나 지도방법을 제시하는 연구가 대부분으로 정작 극한 개념을 가르치는 교사가 어떤 교수학적 지식을 가지고 있으며 그 지식은 옳은 것인가에 대한 연구는 미비한 실정이다. 따라서 수열의 극한 수업의 개선을 위하여 극한 개념에 대한 교사의 지식에 대해 주목해 볼 필요가 있다. 본 연구에서는 특정교과, 즉 수학에 대한 교사들의 지식을 범주화한 MKT개념을 바탕으로 수열의 극한에 대한 선행연구를 분석하여 예비교사와 현직교사의 지식을 분석함으로써 수업 전문성을 위한 예비교사 교육과 현직교사 재교육에 대한 교수학적 시사점을 얻고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 수열의 극한을 가르치기 위한 예비교사와 현직교사의 교과 내용 지식(SMK)의 특징은 무엇인가? 2. 수열의 극한을 가르치기 위한 예비교사와 현직교사의 교수학적 내용 지식(PCK)의 특징은 무엇인가? 2.1 내용과 학생 이해에 관한 지식(KCS)의 특징은 무엇인가? 2.2 내용과 교수에 관한 지식(KCT)의 특징은 무엇인가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 교사 지식의 범주를 교과 내용 지식(SMK), 내용과 학생 이해에 대한 지식(KCS), 내용과 지도 방법에 대한 지식(KCT)으로 구분하고, 수열의 극한 개념에 대한 MKT를 알아보기 위한 문항을 개발하였다. 예비교사 51명과 현직교사 27명을 대상으로 설문을 실시하여 수집된 설문지는 SPSS for windows 12.0을 활용하여 빈도분석을 실시하였으며, 각 문항에 대한 응답률과 정답률을 통하여 예비교사와 현직교사의 지식의 특징을 분석하였다. 연구 문제 1에 대하여 다음과 같은 연구결과를 얻을 수 있었다. 수열의 극한에 대한 예비교사와 현직교사의 교과 내용 지식(SMK)의 특징을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 예비교사들은 직관적 정의와 형식적 정의에 대하여 완벽하게 서술하지 못하는 경우가 많았다. 그에 비해 현직교사들은 직관적 정의에 대해서 완벽하게 서술하고, 형식적 정의에 대해서도 비교적 정확히 서술하였다. 둘째, 극한 개념에 대한 이해 정도를 확인한 결과, 예비교사와 현직교사의 대부분이 ‘한없이 가까이 가는 것’과 관련된 동적 극한 개념에 대해 바르게 인식하고 있었다. 그리고 극한 개념을 가장 잘 설명하고 있는 모델로서 대부분이 동적 모델을 선택한 것으로 보아 예비교사와 현직교사 모두 수열의 극한 개념에 대해 동적인 관점이 지배적임을 알 수 있었다. 한편, 예비교사들은 수열의 극한이 마지막 항의 값이 아니라는 것에 대해서는 정확히 이해하고 있었으나 적지 않은 예비교사들이 극한을 한계값, 도달불능 값, 근사값으로 이해하고 있는 것으로 확인되었다. 이에 비해 현직교사들은 수열의 극한이 한계값, 도달 불능값, 마지막 항의 값, 근사값이 될 수 없다는 것에 대해서 잘 이해하고 있는 것으로 보였다. 그러나 정적인 극한 개념에 있어서는 예비교사와 현직교사 모두 이해가 부족했다. 특히 현직교사가 예비교사보다 정적인 극한 개념에 대해서는 이해가 부족한 것으로 확인되었다. 셋째, 문제의 구조를 파악하고 수열의 극한 개념을 적용하여 극한값을 구하는 문제에 대해서는 예비교사와 현직교사 모두 높은 정답률을 보이고 있으나 일부 예비교사들은 계산 과정에서 계산 실수를 하거나 문제의 구조를 파악하여 극한의 정의 및 성질을 적용하는데 오류를 보여 극한 개념을 적용하는데 있어 미숙한 것으로 보였다. 연구 문제 2에 대하여 다음과 같은 연구결과를 얻을 수 있었다. 수열의 극한에 대한 예비교사와 현직교사의 교수학적 내용 지식(PCK)의 특징을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 수열의 극한에 대한 예비교사와 현직교사의 내용과 학생 이해에 관한 지식(KCS)의 특징을 분석한 결과, 예비교사와 현직교사 모두 극한 개념의 이해 및 극한값 계산과 관련된 오류를 보고 정확히 판단하거나 동일한 오류로 분류할 수 있었다. 또한 진동하는 수열, 수열의 대소 관계를 적용하는 과정에서 나타나는 학생들의 대표적인 오류들에 대해서도 비교적 정확하게 답을 하였다. 하지만 오류 및 오개념의 원인은 무엇인지, 왜 그렇게 분류를 했는지에 대해 정확히 서술한 교사는 매우 적었다. 또한 예비교사의 경우 직관적 정의로부터 발생할 수 있는 상수수열에 대한 오개념에 대해서도 잘 이해하지 못했고, 학생의 오류에 대한 적절한 교정 지도에 있어서도 미숙하였다. 둘째, 수열의 극한에 대한 예비교사와 현직교사의 내용과 교수에 관한 지식(KCT)을 분석한 결과, 대부분의 예비교사와 현직교사들은 학생들이 어려워하는 개념에 대해 설명하기 위한 적절한 예를 찾거나 수업 내용에 맞는 적절한 문제 잘 찾았다. 그러나 수열의 극한 개념을 좌표평면 모델과 수직선 모델을 사용하여 지도하였을 때의 장·단점에 대해서는 정확히 파악하지 못하고 있었고, 수열을 실생활과 관련하여 문제를 만드는 것에 대해서도 미숙한 것으로 보였다. 연구 결과로부터 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻을 수 있다. 성공적인 수업을 위하여 교수 내용 지식(SMK)이 바탕이 되어야 함에도 불구하고 예비교사의 극한 개념에 대한 지식은 전반적으로 부족하다. 이러한 예비교사들의 극한 개념에 대한 지식은 현직교사가 되었을 때 학교의 수업에서 그대로 드러난다. 그러므로 예비교사들에게는 고등학생 때 배웠던 기계적이고 단순한 알고리즘 이외에 다양한 접근을 통해 교사로서 가지고 있어야 할 지식이 무엇인지 새로 배울 시간이 필요하다. 또한 예비교사 교육과정에서는 고등학교에서 배운 수학과 대학에서 배우는 연계를 고려해 보도록 하는 수업 기회를 제공하여 교과 내용 지식을 구성할 수 있도록 해야 할 것이다. 또한 예비교사들은 학생들을 관찰하거나 오류에 접할 기회가 많지 않아 교실 수업 경험을 통하여 얻어지는 실천적 지식인 교수학적 내용지식(PCK)을 형성하는 것은 쉽지 않다. 따라서 학생들이 겪는 어려움과 오류 및 오개념의 원인에 대하여 더욱 깊이 있게 분석하고 사고할 수 있는 기회를 제공하여 KCS를 형성할 수 있도록 하고, 다양한 교수 방법의 효과성에 대한 이론적 설명뿐만 아니라 실제 적용 기회를 주어 KCT가 형성될 수 있도록 기회를 마련해주어야 할 것이다. 현직교사는 교수학적 내용 지식(PCK)중에서 내용과 학생 이해에 관한 지식(KCS)은 다른 영역과 비교하여 부족한 편으로 나타났다. 이는 많은 수업량과 수업 준비, 그 밖의 많은 업무들로 인해 수학을 학습하는 학생의 입장을 고려할 수 있는 충분한 연구 시간이 확보되지 않기 때문으로 판단된다. 따라서, 현직교사에게는 학생들이 수학에 대한 깊은 이해를 할 수 있도록 수업을 설계하는 등의 연구 시간을 충분히 가질 수 있도록 지원해야할 것이다. 또한 교사 연수를 통한 재교육의 기회가 제공되어야하며, 이론뿐만 아니라 현장에서 직면하는 어려움이나 한계점 등에 대한 대안을 제시하는 교사 연수가 이루어질 수 있도록 제도적 장치가 마련되어야 할 것이다. 그리고 교사들 간의 교류의 기회가 실질적으로 이루어질 수 있도록 하여, 교재를 연구를 바탕으로 학생들을 지도해보고 각자의 경험을 공유하는 기회를 가짐으로써 반성적 실천의 기회를 제공하는 것도 중요하다. 본 연구는 예비교사 51명과 현직교사 27명을 대상으로 실시한 것으로 연구의 결과를 우리나라 전체의 예비교사와 현직교사에 적용하여 일반화하기는 어렵다. 또한 MKT는 실천적 지식이며, 다양한 상황과 변인에 영향을 받기 때문에 설문지를 통해 지식을 평가하고 확인하는데에는 한계가 있다는 제한점을 갖는다. 마지막으로 극한 개념에 대한 실제 수업 상황을 분석하여 더 정확하고 다양한 결과 도출을 통해 효과적인 교수방법을 찾는 연구가 이루어져야 할 것이다.