학교수학에서 통계적 개념 발달에 관한 실증연구

Abstract

학교 통계에서 다루어질 내용들은 하나의 구조 속에서 연계성과 위계성을 가져야 한다. 그리고, 아동의 인지 발달 시기에 대한 고려를 하여 구성되어야 한다. 본 논문은 학교 수학에서의 바람직한 통계 교육을 위하여 통계 내용들을 구조화하고, 구조화된 개념들의 발달을 분석하였다. 이를 통해 통계 교육의 문제점들을 보완할 수 있는 교육과정 구성에 기초를 마련하고자 하는 것이다. 연구 문제는 첫째, 통계학에서 다루는 내용들의 핵심 개념과 그 하위개념들은 무엇인가. 둘째, 하위개념들이 발달하기 시작하는 연령대는 어떠한가. 셋째, 각 하위개념들 내에서 지식이 심화됨에 따라 그 내용에 대한 이해가 언제 발달하는 가이다. 이를 위해 개념 발달에 대한 가설을 설정하고, 문항 조사를 통한 분석을 하였다. 연구 문제1인 통계학에서 다루는 내용들의 핵심 개념과 그 하위개념들은 무엇인가에 대하여서는 선행 연구를 분석하여 정리하였다. 핵심 개념은 분포개념, 요약개념, 표본개념으로 분석하였다. 그리고 분포개념의 하위개념은 ‘분포와 표현, 확률, 분포의 비교, 조건부분포, 표집분포’로 분류 설정하였다. 요약개념의 하위개념은 ‘언어적 요약, 도표적 요약, 중심경향과 산포도, 분포의 요약, 요약의 정당화, 회귀, 상관계수’로 분류 설정하였다. 셋째, 표본개념의 하위개념을 ‘우연과 필연의 구분, 귀납과 연역, 무작위성과 대표성, 가능성 원리, 논증의 신뢰성, 통계적 모형’으로 나누어 분류 설정하였다. 연구 문제2인 하위개념들이 발달하기 시작하는 연령대는 어떠한가에 대하여서는, 학생들의 인식 속으로 그 개념이 들어오기 시작하는 시점을 등장점(Entry time)이라 하고, 그 발달 시점에 대한 연구를 하였다. 이를 통해, 각 하위개념의 발달을 살펴보았다. 첫째, 분포개념의 하위개념들의 E 단계를 차례로 살펴보면, ‘분포와 표현’은 2학년, ‘확률’은 1학년, ‘분포의 비교’는 2학년, ‘조건부 분포’는 5학년, ‘표집분포’는 8학년에서 개념에 대한 이해에 진입하고 있다고 볼 수 있다. 둘째, 요약개념의 하위개념들의 개념이해 진입 단계에 해당되는 E 단계를 차례로 살펴보면, ‘언어적 요약’은 1~2학년, ‘중심경향과 산포도’는 4~5학년, ‘도표적 요약’은 5~6학년, ‘분포의 요약’은 7학년, ‘상관계수’는 7학년, ‘회귀’는 8학년, ‘요약의 정당화’는 9~11학년에서 개념에 대한 이해에 진입하고 있다고 볼 수 있다. 셋째, 표본개념의 하위개념들의 개념이해 진입 단계에 해당되는 E 단계를 차례로 살펴보면, ‘우연과 필연의 구분’은 2학년, ‘귀납과 연역’은 9~10학년, ‘무작위성과 대표성’은 2학년, ‘가능성원리’는 3학년, ‘논증의 신뢰성’은 10학년, ‘통계적 모형’은 8학년에서 개념에 대한 이해에 진입하고 있다고 볼 수 있다. 이와 같이 하위 개념들이 발달하기 시작하는 E단계를 학년별로 연결해 보았을 때, 순차적이고 단계적인 발달의 흐름을 볼 수 있었다. 연구 문제3인 각 하위개념들 내에서 지식이 심화됨에 따라 그 내용에 대한 이해가 언제 발달하는가에 대하여서는 ‘개념이해진입 단계(E단계)’, ‘개념이해 중간단계(M단계)’, ‘개념이해 높은 단계(H단계)’로 나누어 가설을 먼저 세웠다. 그리고 문항을 작성하여 7세~17세를 대상으로 조사하였다. 그 결과에 의하여, 개념들이 발달하는 흐름을 알 수 있었다. 이처럼 학교 통계의 내용을 핵심 개념과 그 하위개념들로 재분류 정리하여 통계 개념이 좀 더 구조화 되었다. 그리고 문항 조사를 통해 개념들의 발달 흐름을 살펴봄으로써, 통계적 개념의 발달에 대한 전체적인 윤곽을 잡을 수 있었다. 본 연구의 결과는 현 교육과정에서 간과되거나 누락된 부분을 파악할 수 있게 하였다. 특히, 표본 개념의 보완이 필요함을 알 수 있었다. 이상을 바탕으로 몇 가지 제언을 하였다. 첫째, 본 연구에서의 연구 대상자 수와 개념별 조사 문항 수를 크게 증대하여 조사해서 신뢰도를 높이고 더 정확한 발달의 흐름도를 완성할 필요가 있다. 둘째, 통계 개념에 대한 인식론적 변모를 자세히 밝히는 질적인 연구와 종단 연구가 필요하다. 셋째, 개념별 발달단계를 좀 더 세분화 하고 그 발달을 조사하여 교육과정에 직접적인 도움이 되도록 할 필요가 있다. 넷째, 표본 개념 발달 흐름에서의 공백에 대한 원인 파악을 위한 추가 조사가 필요하다.;When it comes to the school statistics, connectivity and hierarchy should characterize the contents of it in a manner of one unified structure. Moreover, the contents should be formulated, the time of child's cognitive development being taken into consideration. With the objective of achieving the desirable education of statistics in the school mathematics, this dissertation structuralizes the contents of statistics and analyzes the development of the structuralized concepts, which should lay a foundation to construct an educational course in which the problems with respect to statistics education, are solved. The research topics are to be surveyed with the three following questions. With a view to this, I formulated the hypothesis on a concept's development, then analyzed the result of the research based on a question and answer's method. First, what are the core concept and the subordinate concepts of the contents to be dealt with in the statistics? Second, in what age's range do the subordinate concepts begin to develop? third, according that the knowledge grows deeper in each subordinate concept, when does the understanding on the contents develop? Concerning the first topic, "What are the core concept and the subordinate concepts of the contents to be dealt with in the statistics?", I analyzed and set the precedent research's results in order. Distribution concept, summary concept and sampling concept are used to analyze the core concept. The subordinate concept of the distribution concept is set to fall into 'distribution and graphic expression, probability, comparison of distribution, conditional distribution, sampling distribution'. The subordinate concept of the summary concept is set to fall into 'linguistic summary, diagram summary, central value and measure of dispersion, summary of distribution, justification of summary, regression, correlation coefficient'. The subordinate concept of the sampling concept is set to fall into 'classification of chance and inevitable, induction and deduction, random and representativeness, principle of likelihood, reliability of demonstration, statistical model'. Concerning the second topic, "In what age's range do the subordinate concepts begin to develop?", I researched the corresponding developmental point of time, considering the initial time, named "Entry time", at which the concept begin to enter into the recognition of students. First, it is reasonable to say that 'distribution and graphic expression' start to be understood conceptually in the 2nd grade, 'probability' in the 1st, 'comparison of distribution' in the 2nd, 'conditional distribution' in the 5th, 'sampling distribution' in the 8th, taking turns in examining the stage E corresponding the subordinate concepts of the distribution concept. Second, it is reasonable to say that 'linguistic summary' starts to be understood conceptually in the grade between 1st and 2nd, 'central value and measure of dispersion' between 4th and 5th, 'diagram summary' between 5th and 6th, 'summary of distribution' in the 7th, 'correlation coefficient' in the 7th, 'regression' in the 8th, 'justification of summary' between 9th and 11th, examining sequentially the stage E corresponding the subordinate concepts of the summary concept. Third, it is reasonable to say that 'classification of chance and inevitable' start to be understood conceptually in the 2nd grade, 'induction and deduction' in the 9th, 'random and representativeness' in the 2nd, 'principle of likelihood' in the 3rd, 'reliability of demonstration' in the 10th, 'statistical model' in the 8th, examining sequentially the stage E corresponding the subordinate concepts of the sampling concept. Therefore, connecting the stage E's of each grade at which the subordinate concepts begin to develop, shows the feature of the sequential and stepwise development. Concerning the third topic, "According that the knowledge in each subordinate concept grows deeper, when does the understanding on the contents develop?", above all, I hypothesized that the developments of concepts understanding are divided into 'the entry stage of cognitive understanding (stage E)', 'the middle stage of cognitive understanding (stage M)' and 'the highest stage of cognitive understanding (stage H)'. I made research based on a question and answer's method, with the subjects ranging from 7 to 17 years of age. Therefore, I came to see the feature of how the subordinate concepts develop. Consequently, the concept of statistics became far more structuralized, with the contents of the school statistics being regrouped into the core concept and the subordinate concepts. And examining the developmental feature of the concepts through a question and answer's method, enabled outlining the development of statistics concepts as a whole. The result of this research contributed to identifying the overlooked or missing parts in the current course of education. In particular, it's noticed that the sampling concept needs to be supplemented. As a result, I suggest several things. First, it's necessary to heighten the degree of reliability and draw a development diagram of more precision by increasing the number of the subjects and the number of research questions per each concept under the research. Second, the qualitative and end-to-end research is needed to reveal in detail the recognitive transfiguration on the concept of statistics. Third, it is necessary to far more segment the developmental stages of each concepts and examine the developments, thereby helping construct the course of education directly. Fourth, it is needed to make an additional research in order to identify the cause of the vacancy in the feature of the development of the sampling concept.