Metrics on Complex manifolds

Abstract

An n-dimensional complex manifold is a paracompact Housdorff space M together with an equivalence class of systems of local complex coordinates on M. As a real 2n-dimensional manifold, M has a Riemannian metric. As a complex n-dimensional manifold, M has a Hermitian metric. A Hermitian manifold is a complex manifold with a smoothly varying Hermitian inner product on each tangent space. The most important class of Hermitian manifolds is Ka¨hler manifolds. These are Hermitian manifolds for which the Hermitian form is closed. In this case the form is called a Ka¨hler form. In this article we will investigate the construction of the Hermitian metric on M, the Ka¨hler form, properties of Ka¨hler manifold,the complex projective space as a Ka¨hler manifold, and Hermitian manifolds which are not Ka¨hler.;n-차원 복소다양체는 파라컴팩트 하우스도르프 공간 M이 국소적 복소 좌표계의 동치류를 갖게 되는 것이다. 실 2n-차원 다양체로서 M은 리만 계량을 갖는다. 그리고 복소 n-차원 다양체로서 M은 에르미트 계량을 갖는다. 이러한 계량을 주는 것으로서 다양체를 각각 정의할 수 있는데 에르미트다양체는 각각의 접공간 위에 자연스럽게 내적을 정의할 수 있는 복소다양체이다. 또한 이 에르미트다양체 중에 가장 중요한 것 중의 하나는 켈러다양체이다. 켈러다양체는 에르미트다양체에서 에르미트 형식이 닫혀 있을 때를 말한다. 이때의 형식을 켈러 형식이라고 한다. 이 논문에서 우리는 다양체 위에 에르미트 계량의 구조를 정의하며 이로부터 켈러 형식을 살펴보고 켈러다양체에 대한 성질을 알아볼 것이다. 또한 켈러다양체의 예로서 복소 사영 공간에 대해 알아보며 끝으로 에르미트다양체이지만 켈러다양체가 아닌 예를 찾고 그 구조를 소개한다.