한국, 싱가포르, 인도 수학교과서의 방정식 단원 비교연구

Abstract

수학•과학 성취도 추이변화 국제비교연구(TIMSS)에서 두각을 나타내는 아시아의 여러 국가 중에서 영어를 사용하는 싱가포르의 교과서가 국제적인 관심을 받고 있다. 그리고 인도의 고급인력들이 미국 학계, 교육계, NASA, 실리콘밸리, 의약계 등 국제무대 진출 및 비중 있는 영향력을 확보하고 있다. 한국에서도 몇 년 전부터 인도 및 싱가포르의 수학교육에 관심을 갖고 이들 교과서 비교연구가 진행되었다. 하지만 싱가포르와 인도 교과서에 대한 연구가 대부분 초등학교나 중학교 및 영재교육, 고등학교 과정에 대한 비교연구가 대부분이다. 몇 년 동안 고등학교 1학년 과정이 국민공통기본교육과정이었으나 2009 개정교육과정에서는 선택 교육과정으로 바뀌고, 초등학교 1학년부터 중학교 3학년까지를 공통 교육과정이 되었다. 국민공통기본교육과정이었던 고등학교 1학년 과정은 중학교 3학년 과정으로 편입 또는 학습내용을 선택하여 배울 수 있는 바, 중학교 및 고등학교 1학년 과정에 관련한 연구가 필요하다. 또한 학교 시험에서 보면 교과서에서 제시된 문제 유형의 정답 률 은 높지만 다른 형태의 문제를 제시할 경우 많은 학생들이 당황 해하는 것을 볼 수 있다. 난이도가 높은 문제가 아니라 무엇을 물어보느냐에 따라 학생들의 사고력을 증진시킬 수 있으므로 본 연구에서는 한국, 싱가포르, 인도의 중등학교 교과서에서 방정식 단원의 내용 및 문제 유형을 분석하여 수학교육과정과 교과서 개발에 주는 시사점을 찾고자 한다. 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 정하였다. 1. 한국,싱가포르,인도 수학교과서의 방정식 단원 내용 체계 및 조직은 어 떠 한가? 2. 한국,싱가포르,인도 수학교과서의 방정식 단원 내용 제시 방식은 어떠한 가? 3. 한국,싱가포르,인도 수학교과서에서 일•이차방정식 단원의 문제 유형은 어 떠 한가? 연구문제 1, 2를 위하여 싱가포르, 인도 교육부 홈페이지 및 한국의 수학과교육과정을 중심으로 수학교육과정 및 교과서를 살펴보았다. 또한 중학교 1학년-3학년 교과서 및 고등학교 1학년 교과서와 이에 해당하는 싱가포르와 인도 교과서를 구입하여 각 나라별 방정식 단원의 내용 조직과 내용 설명 방식을 비교 분석하였다. 연구문제 3은 한인기(1998)가 소개한‘러시아 수학자 깔야긴의 수학 문제 분류’를 수정하여 일•이차방정식 단원의 문제 유형을 분석하였다. 이와 같은 방법으로 비교 분석한 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다. 내용 체계표를 비교한 결과, 싱가포르와 인도 교과서에서는 한 단원에서 제시하는 내용이 한국 교과서의 여러 단원의 학습 내용을 포함하여 방정식 단원의 학습 내용이 한국에 비해, 싱가포르, 인도가 더 많음을 알 수 있었다. 또한 단원 구성 방식을 비교한 결과, 한국 교과서는 연역적인 구성 방식이라면, 싱가포르와 인도 교과서에서는 학습내용을 간단히 설명한 후 다양하고 충분한 예제를 제시하여 학습내용을 충분히 습득할 수 있도록 하였다. 인도 교과서는 대단원과 관련이 있는 수학 사와 인도 수학자 업적 등을 설명하여 수학에 대한 학습자들의 흥미와 동기를 부여하고 있었다. 방정식 단원의 내용 설명 방식을 비교한 결과에 따르면‘일차방정식의 풀이’에서 한국 교과서는‘등식의 성질’을 설명, 이를 이용한 문제를 간단하게 다루고, 그 다음부터는‘이항’을 이용하도록 제시하였다. 반면, 인도에서는 한 학년 동안은‘등식의 성질’을 이용하여 문제를 풀도록 설명한 후, 다음 단계부터는‘이항’을 이용하여 풀도록 제시하였다. 싱가포르 역시‘등식의 성질’을 이용하여 문제를 풀도록 제시하였다. 또한 싱가포르와 인도 교과서는‘연립일차 • 이차방정식의 풀이’에서 그래프를 활용하도록 제시하였다. 하지만 한국 교과서는 이러한 풀이를 다루지 않고 있었다. 한국과 인도 교과서는 근호가 있는 방정식의 해를 계산하지 않는 반면, 싱가포르 교과서는 문제에서 소수 둘째 혹은 셋째 자리 까지 근호를 계산하여 방정식의 해를 정확하게 구하도록 제시하였다.‘근의 성질’에서 인도는 허수 를 배우지 않아‘허근’이란 단어를 사용하지 않았다. 한국 교과서는 삼 • 사 차 방정식을 풀 때, 인수 정리 및 조립 제 법, 인수분해공식 및 치환을 이용하지만, 싱가포르 교과서에서는 인수 정리를 이용하여 풀도록 하며 또 다른 방법으로 Repeated Roots를 이용한 방정식 풀이 법, 그래프와 수적인 접근법(graphical or numerical approach), 극소 • 극대와 최 솟• 최댓값을 이용, 선형보간 법(Linear interpolation), Newton-Raphson법을 제시하였다. 일 • 이차방정식의 문제유형을 분석한 결과 한국, 싱가포르, 인도 교과서 문제는 첫째, 문제 상황의 기본 요소들 중에서 하나가 알려지지 않은 유형과 문제 상황의 기본 요소들 중에서 두 가지가 알려지지 않은 유형이 가장 많았다. 한국 교과서 문제의 반 이상이 문제 상황의 기본 요소들 중에서 하나가 알려지지 않은 유형이었으며, 싱가포르 교과서 문제의 대부분이 풀이방법 또는 문제해결의 근거를 묻는 문제 상황의 기본 요소들 중에서 두 가지가 알려지지 않은 유형이었다. 인도 교과서 문제 유형은 다양하였다. 한국과 마찬가지로 결과를 묻는 문제의 비율은 비슷했지만, 한국처럼 결과를 묻는 문제 유형에 치우치지는 않았다. 연구결과를 토대로 결론 및 시사점을 요약해 보면 다음과 같다. 단원의 구성 방식 면에서 한국의 교과서는 대단원을 도입할 때 학습 목표를 학습자의 활동 중심으로 제시, 선수학습 내용을 제시하여 학습자들이 학습해야 할 내용을 포괄적으로 알 수 있게 하여 학습자를 배려하였으나, 학습내용을 바로 제시, 공식화 한 후, 관련된 예제를 간단하게 제시하므로, 학습자들이 개념을 충분히 이해할 수 있는 다양한 예제의 제시 및 풀이가 제시되어야겠다. 싱가포르와 인도 교과서는 다양한 방정식 풀이 방법을 제시하였다. 그 중에서도 그래프를 이용한 방법이다. 한국 교과서도 그래프를 제시하여 방정식 풀이를 하고 있지만, ‘방정식’ 단원이 아니라 ‘함수’ 단원에서 이루어지므로 학습자들에게 혼란을 줄 수 있다. ‘방정식’ 단원에서 그래프를 활용한 방정식의 풀이 덧붙인다면 단원간의 연계성을 고려한 수업이 될 수 있을 것이다. 또한 학습자들에게 다양한 풀이 방법을 제공해줄 수 있으며 그래프에 대한 거부감을 줄일 수 있을 것이다. 한국 교과서에서 제시된 문제 유형이 묻는 문제가 아니라 학습자들이 얼마나 수학적 지식, 개념, 원리, 법칙을 이해하여 활용할 수 있는지를 평가할 수 있다면 학습자의 문제 해결 력 증진에 도움이 되리라 생각된다. 본 연구는 싱가포르와 인도의 학제와 교사의 변인 및 교육환경을 고려하지 못한 채 교과서 비교연구를 하였다. 또한 한국의 중학교 3학년 교과서는 개정된 교과서가 아니라서 개정된 한국 교과서와 싱가포르, 인도의 교과서를 함께 비교하는 연구가 이루어질 필요가 있다.;Among many countries outstanding from the research results of Trends in International Mathematics and Science Study(TIMSS), the textbooks of Singapore using English draw international attention. In addition, high quality human power of India secures going out into the international stage and premium influence. In korea too, there has been comparative research of these textbooks, having interest in the mathematics educations of India and Singapore from several years ago. However, the research on the Indian and Singaporean textbooks are mostly comparative researches about curriculums of elementary school, middle school, education of the gifted, and high school. The curriculum of the first year in Korean high school changed into optional curriculum included in the national common basic curriculum for several years in 2009 renewed curriculum. The common curriculum included from the first year of elementary school to the third year of middle school. The first year of high school which had belonged to the national common basic curriculum for years got incorporated into the third year of middle school or became an optional step, thus this research requires investigations on the middle school and first grade of high school. School tests show that correct answer rates of question types provided in textbooks are high, but students get perplexed when they come across other types of questions. Since students' intelligence is increased by what they are asked than the level of difficulty, we analyze contents and problem types of equation part from Indian middle school textbooks to find suggestions for mathematics curriculum and textbook development. This research defined the followig research items. 1. How are the content organizatons and systems of equation parts of textbooks in Korea, Singapore and India? 2. How are the content representing types of equation parts of textbooks in Korea, Singapore and India? 3. How are the problems types of linear •quadratic equation parts of textbooks in Korea, Singapore and India? For the research items 1 and 2, we looked into mathematics curriculums and content organizations focusing on homepages of the Ministry of education in Singapore and India, and mathematics curriculums in Korea. Furthermore, we also compared and analyzed learning contents organizations, composition and content explanation types of equation parts for each country by purchasing textbooks of middle school first to third grade, high school first grade, and corresponding textbooks of Singapore and India. Based on 'Russian mathematician Kolyagin's categories of mathematics problems' the research item no.3 has been carried out by analyzing linear •quadratic equations dealt with in equation parts of Korean, Singapore and Indian textbooks with the help of 'Russian mathematician Kolyagin's categories of mathematics problems'. The summary of comparative analysis results using this method is as follows. Indian textbooks introduce the simple equations using symbols in the upper primary (6)step, therefore accelerating the introducing of quadaratic equations naturally. In the textbooks of Singapore and India, contents provided in one unit comprise those of several units in Korean textbooks, which tells that the contents of equation part is much more in Singapore and India than in Korea. In addition, comparisons of the unit composition methods showed that Korean textbooks suggest relevant problems after explaining, formulating and summarizing the learning contents, while Singaporean and Indian textbooks made it possible to acquire the learning contents by providing diverse and sufficient examples after simple explanation of the content. Indian textbooks give interest and motivation to learners of mathematics by describing mathematics history and accomplishments of Indian mathematicians relevant to the big subject unit. According to comparative results of the content explanation methods of the equation unit, Korean textbooks explain the 'Nature of equation' and simply cover problems related to this, and suggest to use 'binomial' expression. On the other hand, in India, they explain the 'Nature of equation' and let students solve problems using the 'Nature of equation' for one year. Singapore too suggested they solve problems using the 'Nature of equation'. In addition, Singaporean and Indian textbooks suggested to utilize graphs in 'Solutions of system of linear equation/quadratic equations'. However, Korean textbook do not cover this solution. Singapore textbooks suggest to get precise answers of equations by calculating radical signs to the second or third digits in problems, while Korean and Indian textbooks do not calculate answers of equations with radical signs. In India, they do not learn the imaginary number in the 'Nature of root', so they do not use the term 'imaginary root'. Korean textbooks use factor theorem, synthetic division, factorization formula and substitution in solving the third/fourth order equations, but Singaporean textbooks use factor theorem and also suggest equation solutions using repeated roots, graphical or numerical approach, relative minimum/maximum and minimum/maximum values, linear interpolation and Newton-Raphson method as other approach. Third, according to analysis results of the linear • quadratic equation problem types, problems in Korean, Singapore, and Indian textbooks are mostly about problem types where one of the basic factors of problem situations is unknown and those where two of the basic factors of problem situations are unknown. More than half of the problems in Korean textbooks are about those where one of the basic factors of problem situations is unknown. Most of the problems in singaporean textbooks are those where two of the basic factors of problem situations asking solution methods or problem-solving clues are unknown. Problem types of Indian textbooks are diverse. Although it was similar in the proportions asking answers to those of Korea, it was not biased to the types asking the answer as in Korea. If we summarize the suggestive points based on the research results, it shows as follows. from the perspective of unit composition, Korean textbooks suggest study goals focused on learners' activities when introducing a big unit, provide with pre-study contents to consider the learners so that they can apprehend the learning contents inclusively. However, it has difficulties in learner's understanding the concepts by simply suggesting related examples, so it requires a variety of examples. Singaporean and Indian textbooks suggested various solutions of equations. The solution using graphs is one of those. Although Korean textbooks are also solving equations by providing graphs, it is done in the unit of 'function' than 'equation', thus it can cause confusion to learners. If equation solution using the graphs is added in the unit of 'equation', it can be a class counting connections among units. In addition, it will provide learners with diverse solution methods and decrease reluctance towards graphs. problem types in Korean textbooks should be more diverse to develop problem types that can assess how much students can apply mathematical knowledge, concepts, principles, and theories by completely understanding those, let alone the problems asking the answers. This study carried out comparative research without counting the curriculums of Singapore and India, changes of teachers, and educational enviroment. In addition, the middle school third grade textbook in Korea was not the revised one, thus it is necessary to perform the research comparing the revised Korean textbook with the textbooks in Singapore and India.